Sujet du BAC A2 2016 de mathématiques, avec corrigé

Le sujet de mathématiques du BAC A2 2016, tel qu’il a été donné aux candidats : 3 exercices, 2 heures, coefficient 2. L’énoncé complet est ci-dessous, avec le corrigé de la première question.

Durée : 2 heures
Coefficient 2
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (5 points): 3 questions sur la fonction exponentielle et les équations.
Exercice 2 (4 points): 3 questions sur les probabilités et les suites.
Exercice 3 (11 points): Problème — 4 questions sur les fonctions et la fonction logarithme.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 11 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 2 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Lisez tout le sujet avant de commencer et traitez d’abord l’exercice où vous êtes le plus sûr de vous.
Soignez les figures : une figure juste aide à trouver la réponse et rapporte souvent des points.

L’énoncé complet

BAC A2 2016 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC A2 2016, Côte d’Ivoire.

Durée : 2 heures · Coefficient : 2 · 2 exercices et un problème · 20 points. Toute calculatrice scientifique est autorisée.

Exercice 1 · 5 points

On considère la fonction polynôme P définie par :
$P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ .

1
Vérifier que : $P (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 1)$ .
2
a) Résoudre dans $R$ l'équation : $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ .
b) En déduire tous les zéros du polynôme P.
3
Utiliser la question 2 pour résoudre dans $R$ l'équation $2 e^{3 x} + e^{2 x} - 5 e^{x} + 2 = 0$ .

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

Dans le cadre de la réconciliation nationale, une rencontre regroupe :

• 10 représentants des chefs coutumiers ;
• 4 représentants des chefs religieux ;
• 6 membres de la société civile.

Avant le début des travaux, on choisit au hasard un bureau de séance. Ce bureau comprend : un président, un secrétaire et un porte-parole.
On suppose que tous les participants ont la même chance de faire partie du bureau et qu'aucun membre du bureau ne peut occuper plus d'un poste.

1
Justifier que le nombre de bureaux possibles est égal à 6 840.
2
Dans la suite de l'exercice, les résultats donnés seront arrondis au millième près.
Calculer la probabilité de l'évènement A : « Aucun représentant des chefs religieux ne fait partie du bureau ».
3
Soit l'événement B : « le président du bureau est un membre de la société civile ».
Démontrer que la probabilité de l'événement B est égale à 0,300.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :
$f (x) = \frac{- x + 1}{2} + ln x$ .

1
a) Calculer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
b) On admet que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f (x) = x (\frac{- 1}{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{ln x}{x})$ .
Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ .
2
a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f^{'} (x) = \frac{- x + 2}{2 x}$ .
b) En déduire les variations de $f$ .
c) Établir le tableau de variation de $f$ .
3
a) Vérifier que : $f (1) = 0$ .
b) Démontrer que l'équation : $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $] 3, 5; 4 [$ .
On note $α$ cette solution.
c) Donner un encadrement de $α$ par deux nombres décimaux consécutifs d'ordre 1.
4
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J) d'unités : OI = 2 cm ; OJ = 5 cm.
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ .
Sur la feuille en annexe, est tracée la droite (Δ) tangente à la courbe au point d'abscisse $x = e$ .
Utiliser le tableau de valeurs ci-dessous pour tracer $(C)$ sur $[0, 25; 8]$ . On prendra $α = 3, 5$ .

$x$ 0,25 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8
Arrondi d'ordre 1 de $f (x)$ −1,0 −0,4 0 0,2 0,1 −0,1 −0,4 −0,7 −1,1 −1,4

Feuille annexe (la droite (Δ) déjà tracée) :

$x$	0,25	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8
Arrondi d'ordre 1 de $f (x)$	−1,0	−0,4	0	0,2	0,1	−0,1	−0,4	−0,7	−1,1	−1,4

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

$2 x^{3} - 3 x^{2} + x + 4 x^{2} - 6 x + 2 = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2 = P (x)$ .

La démarche

Réduction des termes semblables.

Les erreurs à éviter

Oublier un produit en développant.

Le corrigé des 9 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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