Sujet de mathématiques du BAC 2017, séries A2 et H, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC 2017 en Côte d’Ivoire, en entier (3 exercices, 2 heures, coefficient 2). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé.

Durée : 2 heures
Coefficient 2
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (5 points): 3 questions sur les suites et les fonctions.
Exercice 2 (6 points): 4 questions sur les statistiques et les équations.
Exercice 3 (9 points): 4 questions sur les fonctions et la fonction exponentielle.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 9 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 2 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Soignez les figures : une figure juste aide à trouver la réponse et rapporte souvent des points.
Vérifiez vos calculs avec la calculatrice quand elle est autorisée, mais écrivez toujours les étapes sur la copie.

L’énoncé complet

BAC 2017 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC 2017, Côte d’Ivoire (A2).

Durée : 2 heures · Coefficient : 2 · 3 exercices · 20 points. Toute calculatrice scientifique est autorisée.

Exercice 1 · 5 points

En 2014, la foire gastronomique d'une commune a enregistré 6 000 visiteurs. Une étude montre que chaque année, 80 % des visiteurs de l'année précédente reviennent tandis que 2 000 nouveaux visiteurs sont enregistrés.
On note $u_{0}$ le nombre de visiteurs en 2014 et $u_{n}$ le nombre de visiteurs en 2014 + $n$ , ( $n \in N$ ).

1
Justifie qu'en 2015 le nombre de visiteurs $u_{1}$ est 6 800.
2
Calcule le nombre de visiteurs en 2016.
3
On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = (0, 8) \times u_{n} + 2000$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = u_{n} - 10000$ .
a) Démontre que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme − 4 000.
b) Exprime, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Justifie que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 10000 - 4000 \times (0, 8)^{n}$ .

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 6 points

Une association de jeunes d'un village a organisé en avril 2006, la première édition de la manifestation dénommée « le Beach ». Le Beach a lieu chaque année au même mois.
Le tableau ci-dessous donne le nombre de participants par année de 2006 à 2013.

Année	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Rang x de l'année	1	2	3	4	5	6	7	8
Nombre y de participants	160	240	280	320	400	480	560	640

On désigne par X le caractère « rang de l'année » et par Y le caractère « nombre de participants ».

1
Représente le nuage de points associé à la série statistique double (X, Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). On prendra 1 cm pour une (1) année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 participants sur l'axe des ordonnées.
2
a) Détermine les coordonnées du point moyen G de cette série.
b) Place le point G dans le repère (O, I, J).
3
On partage maintenant la série en deux séries de la manière suivante :

Série $S_{1}$

$x_{i}$ 1 2 3 4
$y_{i}$ 160 240 280 320
Série $S_{2}$

$x_{i}$ 5 6 7 8
$y_{i}$ 400 480 560 640

a) Détermine les coordonnées des points moyens $G_{1}$ et $G_{2}$ respectivement de $S_{1}$ et $S_{2}$ .
b) Justifie qu'une équation de la droite (D) d'ajustement linéaire de la série statistique par la méthode de Mayer est : $y = 67, 5 x + 81, 25$ .
4
En admettant que cette évolution se poursuive, détermine le nombre de participants au Beach d'avril 2019.

$x_{i}$	1	2	3	4
$y_{i}$	160	240	280	320

$x_{i}$	5	6	7	8
$y_{i}$	400	480	560	640

Exercice 3 · 9 points

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité graphique est égale à 2 cm.
On donne la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = (- x + 2) e^{x}$ .
On désigne par (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère (O, I, J).

1
a) Justifie que : $x \to - \infty lim f (x) = 0$ .
b) Interprète graphiquement le résultat de la question précédente.
2
Justifie que : $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .
3
On suppose que $f$ est dérivable sur $R$ .
a) Démontre que, pour tout nombre réel $x$ , $f^{'} (x) = (- x + 1) e^{x}$ .
b) Vérifie que $f^{'} (1) = 0$ .
c) Justifie que $f$ est croissante sur $] - \infty; 1 [$ et décroissante sur $] 1; + \infty [$ .
d) Dresse le tableau de variation de $f$ .
4
a) Recopie puis complète le tableau ci-dessous.

$x$ −4 −3 −2 −1 0 1 2 2,5
Arrondi d'ordre 1 de $f (x)$ 0,1 0,5 2,7 −6,1

b) Trace la courbe (C) sur l'intervalle $[- 4; 2, 5]$ .

$x$	−4	−3	−2	−1	0	1	2	2,5
Arrondi d'ordre 1 de $f (x)$	0,1		0,5			2,7		−6,1

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

$u_{1} = \frac{80}{100} \times 6000 + 2000 = 6800$ .

La démarche

80 % de 6000 = 4800.

Les erreurs à éviter

Ajouter 80 % au lieu de prendre 80 %.

Le corrigé des 10 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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