Sujet de mathématiques du BAC 2015, séries A2 et H, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. 1

   Représenter le nuage de points associés à cette série statistique $(x_i,y_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J).
   On prendra 2 cm pour un mois en abscisses et 1 cm pour 50 cartons en ordonnées.

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série et le placer dans le repère (O, I, J).

3. 3

   On partage le nuage de points ci-dessus en deux sous-nuages N1 et N2 comme suit :

   N1

   $x_i$	1	2	3
   $y_i$	740	680	650

   N2

   $x_i$	4	5	6
   $y_i$	580	500	450

   a) Déterminer les coordonnées des points moyens G1 et G2 respectifs de N1 et de N2.
   b) Justifier qu'une équation de la droite (D) d'ajustement linéaire de cette série statistique double par la méthode de Mayer est : $y=-60x+810$.
   c) Construire la droite (D).

4. 4

   On suppose que ce modèle reste valable jusqu'à la fin de l'année 2014.
   a) Déterminer le rang du mois où le stock sera épuisé (On arrondira le résultat à l'unité).
   b) L'entreprise pourra-t-elle épuiser son stock avant la date d'entrée en application du décret ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Démontrer que la deuxième mensualité est égale à 92 700 F.

2. 2

   a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $a_{n+1}=1,03a_n$.
   b) En déduire que $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est une suite géométrique puis préciser la raison et le premier terme.

3. 3

   Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.

4. 4

   a) Justifier que la huitième mensualité est égale à 110 689 F CFA.
   b) Au 8ᵉᵐᵉ mois, Madame Boti aura-t-elle fini de payer la totalité de la somme ? Justifier la réponse.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. 1

   Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

2. 2

   On note que : $f(x)=-2x{e}^x+e^x$.
   Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.

3. 3

   a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime }(x)=-(2x+1)e^x$.
   b) Justifier que, pour tout $x$ élément de $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right[$, $f^{\prime }(x)>0$.
   c) Justifier que, pour tout $x$ élément de $\left]-\frac{1}{2};+\infty \right[$, $f^{\prime }(x)<0$.
   d) Déduire des questions précédentes, les variations de $f$.

4. 4

   Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.

5. 5

   a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous

   $x$	−5	−3	−1	−0,5	0	0,5	1
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$.		0,3	1,1		1		−2,7

   b) Construire $(\mathcal{C})$ et (T).