Sujet de mathématiques du BAC 2007, séries A2 et H, avec corrigé

Exercice 1 · 7 points

1. 1

   Représenter le nuage de points associé à la série double $(x_i,y_i)$ dans un repère orthonormé.
   Sur le graphique on prendra pour unité,

   - 1 cm pour 1 hectare en abscisse
   - 1 cm pour 1 centaine de milliers de francs CFA en ordonnée.

2. 2

   a) Calculer les moyennes respectives $\overline{x}$ et $\overline{y}$ des séries $(x_i)$ et $(y_i)$.
   b) G est le point moyen de la série double $(x_i,y_i)$. Placer G sur le graphique.

3. 3

   On divise la série double $(x_i,y_i)$ en deux séries $S_1$ et $S_2$ de même effectif.
   $S_1$ :

   $x_i$	1	4	6	9
   $y_i$	7	8	8,9	10,1

   $S_2$ :

   $x_i$	12	14	16	18
   $y_i$	12	13	13,5	15,5

   On note $G_1$ le point moyen de $S_1$ et $G_2$ celui de $S_2$.
   a) Déterminer les coordonnées des points moyens $G_1$ et $G_2$.
   b) Tracer la droite (D) d'ajustement linéaire du nuage de points par la méthode de Mayer.
   c) Démontrer qu'une équation de (D) est : $y=0,5x+6$.

4. 4

   Votre père est un grand planteur de cette région. Il désire exploiter une parcelle de 20 ha.
   a) Estimer graphiquement le bénéfice annuel auquel il est en droit de s'attendre.
   b) Vérifier ce résultat par calcul.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes :
   a) $x^2-3x-10=0$
   b) $\ln x=5$
   c) $\ln (e^{2}x)=0$

2. 2

   Soit le polynôme q défini par :
   $q(x)=(x-1)(x^2-3x-10)$
   Vérifier que $q(x)=x^3-4x^2-7x+10$.

3. 3

   On considère l'équation

   (E) : $x\in \mathbb{R}$, $(\ln x{)}^3-4(\ln x{)}^2-7\ln x+10=0$.

   a) Déterminer l'ensemble de validité de (E).
   b) A l'aide des résultats des questions 1) et 2), résoudre l'équation (E).

Exercice 3 · 8 points

On considère la fonction numérique F, dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et définie par $F(x)=x+5+\frac{4}{x}$.
L'objectif de cet exercice est de compléter la représentation graphique de F et de traiter des informations obtenues à partir de cette courbe.
On donne à étudier la fonction $f$ dérivable sur $]-\infty ;0[$ et définie par :

$f:]-\infty ;0[\to \mathbb{R}$
$x\mapsto x+5+\frac{4}{x}$

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
Sur la feuille annexe, la courbe $(C_f)$ représente la fonction $f$.
Les points A et B ont pour coordonnées respectives $(0;5)$ et $(-2;3)$.
C désigne le point de $(C_f)$ d'abscisse $-2$.
La tangente au point C à $(C_f)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Feuille annexe :

1. 1

   a) Donner graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
   b) Déterminer par le calcul les solutions de l'équation $f(x)=0$.

2. 2

   a) Vérifier qu'une équation de la droite (AB) est $y=x+5$.
   b) Calculer la limite de $[f(x)-(x+5)]$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
   c) Interpréter graphiquement les résultats précédents.

3. 3

   a) A l'aide du graphique, donner le signe de la dérivée $f^{\prime }(x)$ pour $x$ élément de $]-\infty ;0[$.
   b) Etablir le tableau de variation de $f$.
   c) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous à l'aide du graphique :

   $x$	−8	−4	−2	−1	−0,5
   $f(x)$

4. 4

   a) Justifier que le point A est un centre de symétrie pour la courbe de la fonction F.
   b) En déduire le tracé complet de la courbe de F sur la feuille annexe.