Sujet de mathématiques du BAC 2010, séries A2 et H, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2-3x-4=0$.

2. 2

   On donne $P(x)=2x^3-7x^2-5x+4$.
   a) Vérifier que $P(x)=(2x-1)(x^2-3x-4)$.
   b) Vérifier que les solutions de l'équation $P(x)=0$ sont : $-1$, $\frac{1}{2}$ et 4.

3. 2.c

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante $2(\ln x{)}^3-7(\ln x{)}^2-5\ln x+4=0$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Calculer $U_1$.
   b) Vérifier que $U_2=3$.

2. 2

   On donne la suite $(V_n)$ définie par $V_n=U_n-1$ pour tout entier naturel $n$.
   a) Calculer $V_0$, $V_1$ et $V_2$.
   b) Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison 2.
   c) Pour tout entier naturel $n$, justifier que $V_n=2^{n-1}$.

3. 3

   Justifier que pour tout entier naturel $n$, $U_n=1+2^{n-1}$.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A.1

   Calculer $Q(0)$ et $Q(2)$.

2. A.2

   Justifier que :
   - pour tout nombre réel $x$ élément de $]-\infty ;0[\cup ]2;+\infty [$, $Q(x)<0$ ;
   - pour tout nombre réel $x$ élément de $]0;2[$, $Q(x)>0$.

3. B.1

   Partie B
   On donne la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-x^2+5x-5}{x-1}$.
   (C) désigne sa représentation graphique dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J). L'unité graphique est le centimètre.

   1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.
4. B.2

   a) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Calculer $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$.
   c) Justifier que la droite $(\Delta )$ d'équation $x=1$ est une asymptote à (C).

5. B.3

   a) Justifier que pour tout nombre réel $x$ élément de $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $f(x)=-x+4-\frac{1}{x-1}$.
   b) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=-x+4$ est une asymptote à (C) en $-\infty$ et $+\infty$.
   c) Vérifier que (C) est au-dessus de (D) sur $]-\infty ;1[$ et en dessous de (D) sur $]1;+\infty [$.

6. B.4

   a) Démontrer que pour tout nombre $x$ élément de $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $f^{\prime }(x)=\frac{Q(x)}{(x-1{)}^2}$.
   b) Déduire de la partie A, le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$.

7. B.5

   Dresser le tableau de variation de $f$ sur $D_f$.

8. B.6

   Construire $(\Delta )$, (D) et (C) dans le plan muni du repère (O, I, J).