Sujet du BAC D 2017 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4,5 points

1. 1

   Représente le nuage de points correspondant à la série statistique double (X, Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé.
   On prendra sur l'axe des abscisses 1 cm pour 1 travailleur et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour une superficie de 1 ha.
   Pour les questions 2), 3), 4) et 5), les résultats seront arrondis à l'ordre 2.

2. 2

   Justifie que le point moyen a pour couple de coordonnées $(5,63;7,75)$.

3. 3

   On note V(X) la variance de X, V(Y) la variance de Y et
   Cov(X,Y) la covariance de X et Y.
   Justifie que : $V(X)=4,18$ ; $V(Y)=8,44$ et $\mathrm{Cov}(X,Y)=5,37$.

4. 4

   a) Calcule le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série (X, Y).
   b) Interprète le résultat obtenu précédemment.

5. 5

   a) Justifie qu'une équation de la droite ($\mathcal{D}$) d'ajustement de Y en X par la méthode des moindres carrés est : $y=1,28x+0,54$.
   b) Trace ($\mathcal{D}$) sur le graphique précédent.

6. 6

   Utilise l'ajustement précédent pour répondre à la préoccupation de l'exploitant.
   On donnera l'arrondi d'ordre zéro du résultat.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

1. 1

   Résous l'équation : $z\in \mathbb{C}$, $z^2+(1-3i)z-4=0$.

2. 2

   On pose : $\forall z\in \mathbb{C}$, $P(z)=z^3+(1-i)z^2+(2+2i)z-8i$.
   a) Justifie que : $P(-2i)=0$.
   b) Détermine les nombres complexes $a$ et $b$ tels que : $\forall z\in \mathbb{C}$, $P(z)=(z+2i)(z^2+az+b)$.
   c) Déduis des questions précédentes les solutions de l'équation : $z\in \mathbb{C}$, $P(z)=0$.

3. 3

   Soit A, B et C les points d'affixes respectives $-2i$ ; $-2+2i$ et $1+i$.
   On note D le symétrique de A par rapport au point O.
   a) Place les points A, B, C et D dans le plan complexe.
   b) Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C.
   c) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(1-x^2)e^{-x}$.
   On note (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
   L'unité graphique est 2 cm.

   a) Justifie que : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.
   b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.

2. A.2

   a) Calcule $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
   b) Donne une interprétation graphique des résultats obtenus précédemment.

3. A.3

   On suppose que $f$ est dérivable et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Démontre que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=(x^2-2x-1)e^{-x}$.
   b) Justifie que :
   • $\forall x\in ]-\infty ;1-\sqrt{2}[\cup ]1+\sqrt{2};+\infty [,f^{\prime }(x)>0$ ;
   • $\forall x\in ]1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}[,f^{\prime }(x)<0$.
   c) Dresse le tableau de variation de $f$.
   On ne calculera pas $f(1-\sqrt{2})$ et $f(1+\sqrt{2})$.

4. A.4

   Démontre qu'une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0 est : $y=-x+1$.

5. A.5

   Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=(1+x)e^{-x}-1$.
   a) On suppose que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $h^{\prime }$ sa fonction dérivée. Calcule $h^{\prime }(x)$.
   b) Étudie les variations de $h$.
   c) Calcule $h(0)$ et dresse le tableau de variation de $h$. On ne demande pas de calculer les limites de $h$.
   d) Justifie que : $\forall x\in \mathbb{R},h(x)\le 0$.
   e) Vérifie que : $\forall x\in \mathbb{R},f(x)+x-1=(1-x)h(x)$.
   f) Déduis des questions précédentes la position relative de (C) et (T).

6. A.6

   Trace la tangente (T) et la courbe (C).
   On prendra : $f(1-\sqrt{2})=1,3$ et $f(1+\sqrt{2})=-0,4$.

7. B.1

   Partie B
   Soit $\lambda$ un nombre réel de l'intervalle $]1;+\infty [$ et $A(\lambda )$ l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d'équations $x=1$ et $x=\lambda$.

   Démontre, en utilisant deux intégrations par parties, que : $A(\lambda )=\left(\frac{16}{e}-\frac{4(1+\lambda {)}^2}{e^{\lambda }}\right)$ cm².

8. B.2

   Détermine la limite de $A(\lambda )$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$.