Sujet du BAC D 2016 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4,5 points

1. 1

   On considère la fonction $h$ dérivable et définie sur l'intervalle $[0;1]$ par : $h(x)=2x-x^2$.
   a) Démontrer que $h$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;1]$.
   b) En déduire que l'image de l'intervalle $[0;1]$ par $h$ est l'intervalle $[0;1]$.

2. 2

   Soit $u$ la suite définie par :
   $u_0=\frac{3}{7}$ et $\forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=h(u_n)$.
   a) Démontrer par récurrence que :
   $\forall n\in \mathbb{N},0<u_n<1$.
   b) Démontrer que la suite $u$ est croissante.
   c) Justifier que la suite $u$ est convergente.

3. 3

   On considère la suite $v$ définie par :
   $\forall n\in \mathbb{N},v_n=\ln (1-u_n)$.
   a) Démontrer que $v$ est une suite géométrique de raison 2.
   b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   c) Calculer la limite de la suite $v$.
   d) En déduire la limite de la suite $u$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

1. 1

   a) Soit $\Omega$ le point d'affixe 2.
   Vérifier que : $\mathcal{S}(\Omega )=\Omega$
   b) Justifier que $\mathcal{S}$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

2. 2

   a) Démontrer que : $\forall z\ne 2$, $\frac{z^{\prime }-z}{2-z}=i\frac{\sqrt{3}}{3}$.
   b) En déduire que le triangle MΩM' est rectangle en M.
   c) Donner un programme de construction de l'image M' par $\mathcal{S}$ d'un point M donné.

3. 3

   a) Placer les points A et B d'affixes respectives $-1+i$ et $5-i$
   dans le plan muni du repère $(O;\vec{u},\vec{v})$.
   Construire les images respectives A' et B' de A et B par $\mathcal{S}$.
   b) On note $z_A$, $z_B$, $z_{A^{\prime }}$ et $z_{B^{\prime }}$ les affixes respectives des points A, B, A' et B'.
   Démontrer que : $z_{A^{\prime }}-z_A=z_B-z_{B^{\prime }}$.
   c) En déduire la nature du quadrilatère AA'BB'.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit g la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=-1+(2-2x)e^{-2x+3}$.

   Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. A.2

   a) Soit g' la fonction dérivée de g.
   Justifier que : $\forall x\in \mathbb{R},g^{\prime }(x)=(4x-6)e^{-2x+3}$.
   b) Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   c) Justifier que $g\left(\frac{3}{2}\right)=-2$.
   d) Dresser le tableau de variation de g.

3. A.3

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ une solution unique notée $\alpha$.
   b) Vérifier que : $0,86<\alpha <0,87$.
   c) Justifier que : $\forall x\in ]-\infty ;\alpha [,g(x)>0$ et $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [,g(x)<0$.

4. B.1

   Partie B
   Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), (unité graphique : 2cm).
   On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=-x+\left(x-\frac{1}{2}\right)e^{-2x+3}$.
   On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$.

   a) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
   b) En déduire que $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique de direction (OJ) en $-\infty$.

5. B.2

   a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Démontrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y=-x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   c) Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à ($\mathcal{D}$).

6. B.3

   a) Soit $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$.
   Démontrer que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=g(x)$.
   b) En déduire les variations de $f$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$. On ne calculera pas $f(\alpha )$.

7. B.4

   Construire ($\mathcal{D}$) et $(\mathcal{C})$ sur le même graphique.
   On précisera les points de $(\mathcal{C})$ d'abscisses $0$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ ; $4$.
   On prendra : $\alpha =0,865$ et $f(\alpha )=0,4$.

8. B.5

   Soit $t$ un nombre réel strictement supérieur à $\frac{3}{2}$. On désigne par $\mathcal{A}(t)$ l'aire en cm² de la
   partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite ($\mathcal{D}$) et les droites d'équations $x=\frac{3}{2}$ et $x=t$.
   On pose : $I_t={\int }_{\frac{3}{2}}^t\left(x-\frac{1}{2}\right)e^{-2x+3}dx$.
   a) À l'aide d'une intégration par parties, justifier que :
   $I_t=\frac{3}{4}-\frac{t}{2}{e}^{-2t+3}$.
   b) En déduire $\mathcal{A}(t)$.
   c) Calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }\mathcal{A}(t)$.