Sujet du BAC D 2018 de mathématiques, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC D 2018 en Côte d’Ivoire, en entier (3 exercices, 4 heures, coefficient 4). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé.

Durée : 4 heures
Coefficient 4
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (5 points): 4 questions sur les nombres complexes et les racines carrées.
Exercice 2 (4 points): 6 questions sur les fonctions et les statistiques.
Exercice 3 (11 points): Problème — 10 questions sur les fonctions et la fonction logarithme.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 11 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 4 heures : comptez environ 65 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Quand le sujet donne un résultat (« montrer que… »), servez-vous-en pour la suite, même si vous n’avez pas réussi à le démontrer.
Lisez tout le sujet avant de commencer et traitez d’abord l’exercice où vous êtes le plus sûr de vous.

L’énoncé complet

BAC D 2018 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC D 2018, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 4 · 2 exercices et un problème · 20 points. Chaque candidat recevra deux (02) feuilles de papier millimétré. Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé. Les tables trigonométriques, logarithmiques et les règles à calculs sont aussi autorisées.

Exercice 1 · 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, I, J). L'unité graphique est : 2 cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives $4 i$ ; $2$ et $1 + i 3$ .

1
a) Écris le nombre complexe $1 + i 3$ sous forme trigonométrique.
b) Place les points A, B et C dans le plan muni du repère (O, I, J).
2
Soit $S$ la similitude directe de centre O qui transforme B en C.
a) Justifie que l'expression complexe de $S$ est : $z^{'} = \frac{1}{2} (1 + i 3) z$ .
b) Justifie que $S$ est une rotation dont on précisera une mesure de l'angle.
3
Soit (E) l'ensemble des points M du plan d'affixe $z$ telle que : $∣ z - 4 i ∣ = 2$ .
a) Détermine et construis (E).
b) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de (E') l'image de (E) par $S$ .
4
Soit (F) l'ensemble des points M du plan d'affixe $z$ telle que : $∣ z - 2∣ = ∣ z - 1 - i 3 ∣$ .
a) Détermine et construis (F).
b) Justifie que le point O et le point K milieu du segment [BC] appartiennent à (F).
c) Justifie que l'image de (F) par $S$ est la droite (OJ).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition. En l'an 2000, l'effectif était égal à mille (1 000).
L'effectif de cette population évolue par rapport au temps $t$ et peut être approché par une fonction $f$ . Le temps $t$ est exprimé en années à partir de 2000. La fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur l'intervalle $[2000; + \infty [$ et est solution de l'équation différentielle :
$(E_{1})$ : $y^{'} (t) + \frac{1}{200} y (t) = - \frac{200}{t ^{2}} + \frac{1}{t}$ .

1
Soit $h$ la fonction dérivable et définie sur l'intervalle $[2000; + \infty [$ par : $h (t) = \frac{200}{t}$ .
Vérifie que $h$ est une solution de $(E_{1})$ .
2
Résous l'équation différentielle
$(E_{2})$ : $y^{'} (t) + \frac{1}{200} y (t) = 0$ .
3.a
Démontre qu'une fonction $g$ est solution de $(E_{1})$ si et seulement si $g - h$ est solution de $(E_{2})$ .
3.b
Déduis-en les solutions de $(E_{1})$ .
3.c
Sachant que $f (2000) = 1000$ , vérifie que :
$\forall t \in [2000; + \infty [, f (t) = 999, 9 e^{(10 - \frac{t}{200})} + \frac{200}{t}$ .
3.d
Détermine le nombre d'individus de cette population animale en 2020.
Donne le résultat arrondi à l'ordre 0.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

A.1
Partie A
On considère la fonction $g$ dérivable et définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :
$g (x) = 2 + x - 3 x ln (x)$ .

Calcule la limite de $g$ en 0 et la limite de $g$ en $+ \infty$ .
A.2
a) On désigne par $g^{'}$ , la fonction dérivée de $g$ .
Calcule $g^{'} (x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.
b) Étudie les variations de $g$ .
c) Vérifie que : $g (e^{- \frac{2}{3}}) = 2 + 3 e^{- \frac{2}{3}}$ .
Dresse le tableau de variation de $g$ .
A.3
a) Démontre que l'équation $g (x) = 0$ admet dans l'intervalle $[e^{- \frac{2}{3}}; + \infty [$ , une solution unique notée $α$ .
b) Justifie que : $1, 9 < α < 2$ .
A.4
Démontre que : $\forall x \in] 0; α [, g (x) > 0$ et $\forall x \in] α; + \infty [, g (x) < 0$ .
B.1
Partie B
Soit $f$ la fonction dérivable et définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = \frac{20 ln ( x )}{( x + 2 ) ^{3}}$ .
$(C)$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J) d'unité graphique 5 cm.

a) Calcule la limite de $f$ en 0.
Interprète graphiquement le résultat.
b) Justifie que la limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à 0.
Interprète graphiquement le résultat.
B.2
On note $f^{'}$ la fonction dérivée de $f$ .
a) Démontre que :
$\forall x \in] 0; + \infty [, f^{'} (x) = \frac{20 g ( x )}{x ( x + 2 ) ^{4}}$ .
b) Déduis-en les variations de $f$ .
c) Dresse le tableau de variation de $f$ . On ne calculera pas $f (α)$ .
B.3
Justifie qu'une équation de la tangente (T) à $(C)$ au point d'abscisse 1 est : $y = \frac{20}{27} x - \frac{20}{27}$ .
B.4
Trace (T) et $(C)$ . On prendra $α = 1, 95$ et $f (α) = 0, 22$ .
C.1
Partie C
On pose : $U = \int_{1}^{2} \frac{1}{x ( x + 2 ) ^{2}} d x$ et $V = \int_{1}^{2} \frac{ln ( x )}{( x + 2 ) ^{3}} d x$ .

On admet que : $\forall x \in] 0; + \infty [, \frac{1}{x ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4 x} - \frac{1}{4 ( x + 2 )} - \frac{1}{2 ( x + 2 ) ^{2}}$
Déduis-en que : $U = \frac{ln 3}{4} - \frac{ln 2}{4} - \frac{1}{24}$ .
C.2
a) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que : $V = - \frac{ln 2}{32} + \frac{1}{2} U$ .
b) Calcule en cm² l'aire $A$ de la partie du plan délimitée par la courbe $(C)$ , l'axe (OI), les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$ .
Donne le résultat arrondi à l'ordre 1.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

$1 + i 3 = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ .

La démarche

Module 2.
Argument $\frac{π}{3}$ .
Barème officiel DECO : a) |a| = 2 : 0,25 ; arg = π/3 : 0,25 ; forme trigonométrique : 0,25 · b) 0,25 × 3 (A, B, C).

Les erreurs à éviter

Prendre $\frac{π}{6}$ : c'est le cosinus qui vaut $\frac{1}{2}$ .

Le corrigé des 19 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée et les points du barème officiel. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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