Sujet de mathématiques du BAC 2013, séries A2 et H, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. 1

   Calculer le nombre d'abonnés de la PME au terme de la première année d'exercice.

2. 2

   Soit $(b_n)$ la suite définie par : $b_n=25000-a_n$, pour tout entier naturel $n$.
   a) Calculer $b_0$ et $b_1$.
   b) Démontrer que $(b_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 15 000.
   c) Exprimer $b_n$ en fonction de $n$.
   d) En déduire que : $a_n=25000-15000\times (0,8{)}^n$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 6 points

1. 1

   Représenter le nuage de points associé à la série statistique double (X ; Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé. L'unité graphique est telle que :
   - 2 cm représente une année sur l'axe des abscisses ;
   - 2 cm représente un taux de 1% sur l'axe des ordonnées.
   On pourra prendre le point de couple de coordonnées (0 ; 74) comme origine.

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G.

3. 3

   On partage la série statistique double (X ; Y) en deux séries statistiques doubles $(X_1;Y_1)$ et $(X_2;Y_2)$ comme indiqué dans les tableaux ci-dessous :

   $X_1$	1	2	3
   $Y_1$	75	77	77,3

   $X_2$	4	5	6
   $Y_2$	78,2	79,3	80

   a) Calculer les coordonnées respectives des points moyens $G_1$ et $G_2$ des séries statistiques doubles $(X_1;Y_1)$ et $(X_2;Y_2)$.
   On donnera l'arrondi d'ordre 1 des coordonnées non entières.
   b) Tracer la droite (D) de régression linéaire de Y en X par la méthode de Mayer sur la figure de la question 1-).
   c) Démontrer qu'une équation de (D) est : $y=0,93x+74,5$.

4. 4

   Quel devrait être le taux d'adhésion à la MUCAKO en 2015 selon l'ajustement linéaire réalisé ?

Exercice 3 · 8 points

1. 1

   a) Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
   b) Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2. 2

   a) Justifier que pour tout nombre réel $x$ : $f^{\prime }(x)=1+e^x$.
   b) Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

3. 3

   a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
   b) Justifier que : $-0,6<\alpha <-0,5$.

4. 4

   a) Justifier que la droite (D) d'équation $y=x$ est une asymptote à (C) en $-\infty$.
   b) Etudier les positions relatives de (D) et (C).

5. 5

   Justifier qu'une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0 est : $y=2x+1$.

6. 6

   a) Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

   $x$	−2,25	−2	−1	0	1	2
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$

   b) Tracer (D), (T) et (C) sur l'intervalle $]-\infty ;2]$. On prendra $\alpha =-0,6$.