Sujet du BAC A1 2016 de mathématiques, avec corrigé

3 exercices, 3 heures, coefficient 3 : c’est l’épreuve de mathématiques du BAC A1 2016. Tout l’énoncé est sur cette page, avec le corrigé de la première question.

Durée : 3 heures
Coefficient 3
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (4 points): 3 questions sur la fonction exponentielle et les équations.
Exercice 2 (5 points): 4 questions sur les probabilités et les suites.
Exercice 3 (11 points): Problème — 5 questions sur les fonctions et la fonction logarithme.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 11 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 3 heures : comptez environ 50 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Chaque résultat doit être justifié : le correcteur note la démarche, pas seulement le nombre final.
Soignez les figures : une figure juste aide à trouver la réponse et rapporte souvent des points.

L’énoncé complet

BAC A1 2016 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC A1 2016, Côte d’Ivoire.

Durée : 3 heures · Coefficient : 3 · 2 exercices et un problème · 20 points. Chaque candidat recevra une feuille annexe à rendre avec la copie. Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé. Les tables trigonométriques et logarithmiques et les règles à calculs sont autorisées.

Exercice 1 · 4 points

On considère la fonction polynôme P définie par :

$P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ .

1
Vérifier que : $P (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 1)$ .
2
a) Résoudre dans $R$ l'équation : $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ .
b) En déduire tous les zéros du polynôme P.
3
Utiliser la question 2 pour résoudre dans $R$ l'équation $2 e^{3 x} + e^{2 x} - 5 e^{x} + 2 = 0$ .

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

Dans le cadre de la réconciliation nationale, une rencontre regroupe :

• 10 représentants des chefs coutumiers ;
• 4 représentants des chefs religieux ;
• 6 membres de la société civile.

Avant le début des travaux, on choisit au hasard un bureau de séance. Ce bureau comprend : un président, un secrétaire et un porte-parole.
On suppose que tous les participants ont la même chance de faire partie du bureau et qu'aucun membre du bureau ne peut occuper plus d'un poste.

1
Justifier que le nombre de bureaux possibles est égal à 6840.
2
Dans la suite de l'exercice, les résultats donnés seront arrondis au millième près.

Calculer la probabilité de l'évènement A : « Aucun représentant des chefs religieux ne fait partie du bureau ».
3
a) Soit l'évènement B : « Il y a exactement un représentant des chefs religieux dans le bureau ».
Démontrer que la probabilité de l'évènement B est égale à 0,421.
b) Soit l'évènement C : « Il y a exactement un représentant des chefs religieux dans le bureau et celui-ci occupe le poste de président ». Calculer la probabilité de C.
4
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de représentants des chefs religieux dans le bureau.
a) Justifier que la probabilité de l'évènement « X = 3 » est égale à 0,004.
b) Déduire de ce qui précède, la loi de probabilité de X. On présentera le résultat dans un tableau.
c) Démontrer que l'espérance mathématique de X est égale à 0,601. Interpréter le résultat.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{- x + 1}{2} + ln x$ .

1
a) Calculer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
b) On admet que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f (x) = x (\frac{- 1}{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{ln x}{x})$ .
Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ .
2
a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f^{'} (x) = \frac{- x + 2}{2 x}$ .
b) En déduire les variations de $f$ .
c) Établir le tableau de variation de $f$ .
3
a) Vérifier que : $f (1) = 0$ .
b) Démontrer que l'équation : $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $] 3, 5; 4 [$ .
On note $α$ cette solution.
c) Donner un encadrement de $α$ par deux nombres décimaux consécutifs d'ordre 1.
4
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J) d'unités : OI = 2 cm ; OJ = 5 cm.
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ .
Sur la feuille en annexe, est tracée la droite (Δ) tangente à la courbe au point d'abscisse $x = e$ .
Utiliser le tableau de valeurs ci-dessous pour tracer $(C)$ sur $[0, 25; 8]$ . On prendra $α = 3, 5$ .

$x$ 0,25 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8
Arrondi d'ordre 1 de $f (x)$ −1,0 −0,4 0 0,2 0,1 −0,1 −0,4 −0,7 −1,1 −1,4

Feuille annexe :
5
a) Justifier que la fonction F définie par : $F (x) = \frac{- x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} x + x ln x$ est une primitive de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .
b) Calculer en fonction de $e$ , l'aire $A$ en cm² de la partie du plan délimitée par la courbe $(C)$ , l'axe (OI) et les droites d'équations respectives $x = 1$ , $x = e$ .
c) En prenant $e = 2, 7$ . Justifier que $A = 2, 775$ cm².

$x$	0,25	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8
Arrondi d'ordre 1 de $f (x)$	−1,0	−0,4	0	0,2	0,1	−0,1	−0,4	−0,7	−1,1	−1,4

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

$2 x^{3} - 3 x^{2} + x + 4 x^{2} - 6 x + 2 = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2 = P (x)$ .

La démarche

Réduction des termes semblables.

Les erreurs à éviter

Oublier un produit en développant.

Le corrigé des 11 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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