Sujet du BAC A1 2015 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. 1

   a) Représenter le nuage de points associés à cette série statistique $(x_i,y_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J).
   On prendra 2 cm pour un mois en abscisse et 1 cm pour 50 cartons en ordonnée.
   b) Peut-on effectuer un ajustement linéaire de cette série statistique ?

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série et le placer dans le repère (O, I, J).

3. 3

   a) Calculer la variance V(X) de X.
   b) Calculer la covariance Cov(X, Y) de cette série statistique double.
   (On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles)

4. 4

   a) Démontrer par la méthode des moindres carrés qu'une équation de la droite (D) de régression de $y$ en $x$ est : $y=-\frac{412}{7}x+806$.
   b) Construire la droite (D) dans le repère (O, I, J).
   c) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et interpréter le résultat.

5. 5

   On suppose que ce modèle reste valable jusqu'à la fin de l'année 2014.
   a) Déterminer le rang du mois où le stock sera épuisé (On arrondira le résultat à l'unité).
   b) L'entreprise pourra-t-elle épuiser son stock avant la date d'entrée en application du décret ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Démontrer que la deuxième mensualité est égale à 92 700 F.

2. 2

   a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $a_{n+1}=1,03a_n$.
   b) En déduire que $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est une suite géométrique puis préciser la raison et le premier terme.

3. 3

   Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.

4. 4

   Justifier que la huitième mensualité est égale à 110 689 F CFA (arrondir à l'unité).

5. 5

   a) Justifier que la somme des $n$ premières mensualités est égale à $3000000[(1,03{)}^n-1]$.
   b) Déterminer le nombre de mois nécessaire à Boti pour qu'elle puisse finir de payer sa place.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. 1

   Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

2. 2

   En remarquant que $f(x)=-2x{e}^x+e^x$.
   Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.

3. 3

   a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime }(x)=-(2x+1)e^x$.
   b) Justifier que, pour tout $x$ élément de $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right[$, $f^{\prime }(x)>0$.
   c) Justifier que, pour tout $x$ élément de $\left]-\frac{1}{2};+\infty \right[$, $f^{\prime }(x)<0$.
   d) Déduire des questions précédentes, les variations de $f$.

4. 4

   Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.

5. 5

   a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous

   $x$	−5	−3	−1	−0,5	0	0,5	1
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$		0,3	1,1		1		−2,7

   b) Construire $(\mathcal{C})$ et (T).

6. 6

   Soit la fonction F définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=-(2x-3)e^x$.
   a) Démontrer que F est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f$.
   b) En déduire l'aire de la partie du plan délimitée par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives : $x=-1$ et $x=0$.
   c) Sachant que l'unité d'aire est 4 cm², exprimer l'arrondi de la valeur de l'aire à l'unité près.
   (On donne : $e\approx 2,72$).