Sujet du BAC D 2020 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Représente le nuage de points associés à la série statistique (X, Y).

2. 2

   a) Détermine les coordonnées du point moyen G du nuage de points de cette série statistique.
   On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
   b) On note V(X) la variance de X et Cov(X, Y) la covariance de (X, Y).
   Démontre que : $V(X)=\frac{35}{12}$ et $\mathrm{Cov}(X,Y)=-\frac{255}{4}$.

3. 3

   On admet que la variance V(Y) de Y est égale à 1445.
   a) Justifie que le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X, Y) est $\frac{-3\sqrt{21}}{14}$.
   b) Justifie qu'il existe une forte corrélation linéaire entre les variables X et Y.

4. 4

   Soit (D) la droite de régression de Y en X.
   Démontre, par la méthode des moindres carrés, qu'une équation de (D) est : $y=-\frac{153}{7}x+\frac{497}{3}$.

5. 5

   Détermine le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7${}^e$ année.
   On arrondira le résultat au multiple le plus proche de 5.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1.a

   On considère l'équation (E) : $z\in \mathbb{C}$, $z^3+(1+i)z^2+(2-2i)z+8i=0$.
   a) Justifie que $2i$ est une solution de (E).

2. 1.b

   Justifie que : $\forall z\in \mathbb{C},z^3+(1+i)z^2+(2-2i)z+8i=(z-2i)[z^2+(1+3i)z-4]$.

3. 1.c

   Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation (E') : $z^2+(1+3i)z-4=0$.

4. 1.d

   Déduis des questions précédentes la résolution dans $\mathbb{C}$ de l'équation (E).

5. 2.a

   Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J). L'unité graphique est 2 cm.
   On donne les points A, B, C et D d'affixes respectives : $-3i$ ; $1-i$ ; $2i$ et $-2-2i$.
   a) Place les points A, B, C et D sur votre feuille de copie.

6. 2.b

   Démontre que le triangle BAD est rectangle et isocèle en A.

7. 3.a

   Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.
   a) Démontre que l'écriture complexe de S est : $z^{\prime }=(1+i)z-2+2i$.

8. 3.b

   Démontre que S(B) = C.

9. 3.c

   Détermine l'image du triangle BAD par la similitude S.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=2x-e^{-x}$.

   Calcule $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.

2. A.2

   Démontre que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, puis dresse son tableau de variation.

3. A.3

   a) Démontre que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On la note $\alpha$.
   b) Justifie que : $0,3<\alpha <0,4$.

4. A.4

   Justifie que : $\forall x\in ]-\infty ;\alpha [,g(x)<0$ ;
   $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [,g(x)>0$.

5. B.1

   Partie B
   Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-1)(2e^x-1)$.
   On note $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
   L'unité graphique est 2 cm.

   Calcule $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
   Donne une interprétation graphique des résultats obtenus.

6. B.2

   a) Calcule $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Justifie que : $\forall x\in \mathbb{R},f(x)=1-x+2(x-1)e^x$.
   c) Démontre que la droite (D) d'équation $y=1-x$ est une asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$.
   d) Étudie la position relative de $(C_f)$ et (D).

7. B.3

   On suppose que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Démontre que $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=e^{x}g(x)$.
   b) Étudie le sens de variation de $f$.
   c) Dresse le tableau de variation de $f$.

8. B.4

   a) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : $f(x)=0$.
   b) Déduis-en les coordonnées des points d'intersection A et B de $(C_f)$ et de l'axe des abscisses.
   On choisira : $x_A<x_B$ ($x_A$ et $x_B$ étant les abscisses respectives de A et B).

9. B.5

   Détermine une équation de la tangente (T) à $(C_f)$ au point d'abscisse 0.

10. B.6

    Trace les droites (D) et (T), puis construis $(C_f)$.
    On prendra : $\alpha =0,35$ et $f(\alpha )=-1,2$.

11. B.7

    À l'aide d'une intégration par parties, calcule l'aire en cm², de la partie du plan délimitée par $(C_f)$, la droite (D) et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.