Sujet du BAC D 2021 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. La fonction ln est strictement décroissante sur $]0;+\infty [$.

   2. 2. La fonction ln est la primitive sur $]0;+\infty [$ de la fonction : $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1.

   3. 3. On considère la suite $u$ définie par : $\{\begin{array}{l}{u}_0=2\\ \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=3u_n\end{array}$
         La suite $u$ est une suite arithmétique.
   4. 4. Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle K.
         $a$ et $b$ sont deux éléments de K tels que $a<b$.
         S'il existe deux nombres réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x$ élément de $[a;b]$, $m\le f^{\prime }(x)\le M$, alors $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. (Énoncé 1 : le sujet imprime « −∞ » en A et en D.)

   1. 1. Soit $u$ la suite numérique définie par : $\{\begin{array}{l}{u}_0=-2\\ \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\end{array}$
         La suite $u$ a pour limite …
      1. A$-\infty$
      2. B2
      3. C0
      4. D$-\infty$

   2. 2. L'inéquation (E) : $x\in \mathbb{R}$, $\ln x-1\le 0$, a pour ensemble de solutions …

      1. A$]-\infty ;e]$
      2. B$]0;e]$
      3. C$[e;+\infty [$
      4. D$\varnothing$
   3. 3. On pose : $z=-\sqrt{3}+i$. On note $r$ le module de $z$ et $\theta$ l'argument principal de $z$.
         $r$ et $\theta$ vérifient …
      1. A$r=2$ et $\theta =\frac{5\pi }{6}$
      2. B$r=2$ et $\theta =\frac{-5\pi }{6}$
      3. C$r=2$ et $\theta =\frac{2\pi }{3}$
      4. D$r=1$ et $\theta =\frac{5\pi }{6}$
   4. 4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. Soient I et J les points d'affixes respectives 1 et $i$.
         On note $(\Gamma )$ l'ensemble des points M du plan d'affixe $z$ vérifiant : $|z-1|=|z-i|$.
         $(\Gamma )$ est …
      1. Ala droite (IJ) privée du segment [IJ]
      2. Bla droite (IJ)
      3. Cla médiatrice du segment [IJ]
      4. Dle cercle de centre I et de rayon 1
   5. 5. Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle K telle que : $\forall x\in K,f^{\prime }(x)>0$.
         $f$ est une bijection de K vers $f(K)$.
         $\forall a\in f(K)$, $(f^{-1}{)}^{\prime }(a)$ est égal à …
      1. A$\frac{1}{f^{\prime }(a)}$
      2. B$\frac{-1}{f^{-1}(a)}$
      3. C$f^{\prime }(f^{-1}(a))$
      4. D$\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$

Exercice 3 · 3 points

1. 1.a

   On prend une personne au hasard et on donne les évènements suivants :
   S « la personne a un âge supérieur ou égal à 65 ans » ;
   C « la personne est atteinte de la Covid-19 ».
   Dresse un arbre pondéré qui représente la situation.

2. 1.b

   Donne la probabilité $P_S(C)$ des personnes atteintes de la Covid-19 sachant qu'elles ont plus de 65 ans.

3. 1.c

   Calcule la probabilité pour que la personne ait au moins 65 ans et soit atteinte de la Covid-19.

4. 2

   Justifie que la probabilité de l'évènement C est : 0,1807.

5. 3.a

   On prend au hasard $n$ personnes dans la ville et on note $P_n$ la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\setminus \{1\}$).
   Justifie que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\setminus \{1\},P_n=1-(0,8193{)}^n$.

6. 3.b

   Détermine le nombre minimal de personnes pour que la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 dépasse 99,99%.

Exercice 4 · 4 points

1. 1

   On admet que : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\infty$.
   Interprète graphiquement ces résultats.

2. 2.a

   Calcule la limite de $f$ en $+\infty$.

3. 2.b

   Justifie que la droite (D) d'équation $y=-x+1$ est une asymptote à (C) en $+\infty$.

4. 3.a

   Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x{e}^{1-x}+1$.
   On admet qu'il existe un nombre réel $\alpha$ élément de l'intervalle $[-0,4;-0,2]$ tel que $g(\alpha )=0$ et $\{\begin{array}{l}\forall x\in ]-\infty ;\alpha [,g(x)<0\\ \forall x\in ]\alpha ;+\infty [,g(x)>0\end{array}$
   On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   Justifie que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=-g(x)$.

5. 3.b

   Étudie le sens de variation de $f$.

6. 3.c

   Dresse le tableau de variation de $f$.

7. 4

   On admet que (C) est au-dessus de (D) sur $[-1;+\infty [$ et au-dessous de (D) sur $]-\infty ;-1]$.
   Construis (C) (Tu prendras : $\alpha =-0,3$ et $f(\alpha )=3,9$).

8. 5.a

   Interprète graphiquement l'intégrale K telle que : $K={\int }_0^1(f(x)-(-x+1))dx$.

9. 5.b

   Justifie, à l'aide d'une intégration par parties, que : $K=2e-3$.

Exercice 5 · 4 points

1. 1.a

   On considère la similitude directe S de centre O telle que : S(A) = B.
   Justifie que la similitude directe S a pour écriture complexe : $z^{\prime }=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)z$.

2. 1.b

   Détermine le rapport et l'angle de S.

3. 2.a

   On considère les points $A_n$ tels que : $\{\begin{array}{l}{A}_0=A\\ \forall n\in \mathbb{N},A_{n+1}=S(A_n)\end{array}$
   On désigne par $z_n$ l'affixe du point $A_n$.
   Démontre par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N},z_n=8{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)}^n$.

4. 2.b

   Démontre que le triangle $O{A}_n{A}_{n+1}$ est rectangle et isocèle en $A_{n+1}$.

5. 3.a

   Place successivement les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$.

6. 3.b

   Justifie que l'aire $a_1$ en cm², du triangle $O{A}_0{A}_1$ est 16.

7. 3.c

   Déduis du résultat précédent l'aire $a$, en cm², du polygone $A_0{A}_1{A}_2{A}_3{A}_4$.

Exercice 6 · 5 points

1. Situation

   Fais une proposition argumentée.