Sujet du BAC D 2015 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. I.1

   Partie I
   On considère la fonction $p$ définie sur $\mathbb{C}$ par :
   $\forall z\in \mathbb{C},p(z)=z^3-(3+2i)z^2+(1+5i)z+2-2i$.

   a) Calculer $p(i)$.
   b) Déterminer deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que : $p(z)=(z-i)(z^2+az+b)$.

2. I.2

   Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation : $z^2-(3+i)z+2+2i=0$.

3. I.3

   En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$, de l'équation (E) : $p(z)=0$.

4. II.1

   Partie II
   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, d'unité : 5 cm.
   On pose : $z_0=2$ et $\forall n\in \mathbb{N},z_{n+1}=\frac{1+i}{2}{z}_n$.
   On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

   a) Calculer $z_1$ et $z_2$.
   b) Placer les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ dans le plan complexe.

5. II.2

   On considère la suite U définie par : $\forall n\in \mathbb{N},U_n=|z_{n+1}-z_n|$.
   a) Justifier que : $\forall n\in \mathbb{N},U_n=\frac{\sqrt{2}}{2}|z_n|$.
   b) Démontrer que U est une suite géométrique de raison $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $\sqrt{2}$.
   c) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.

6. II.3

   On désigne par $A_0{A}_1+A_1{A}_2+\cdots +A_{n-1}{A}_n$, la longueur de la ligne brisée $A_0{A}_1{A}_2\dots A_{n-1}{A}_n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).
   On pose : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },l_n=A_0{A}_1+A_1{A}_2+\cdots +A_{n-1}{A}_n$.
   a) Calculer $l_n$.
   b) En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{l}_n$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   On choisit un jour au hasard.
   a) Calculer la probabilité de l'évènement E suivant : « Il y a une affluence de clients et Mariam réalise un bénéfice ».
   b) Démontrer que la probabilité $p(B)$ de l'évènement B est égale à 0,58.
   c) Mariam a réalisé un bénéfice.
   Calculer la probabilité qu'il y ait eu une affluence de clients ce jour là.
   On donnera l'arrondi d'ordre 2 du résultat.

2. 2

   Mariam veut faire des prévisions pour trois jours successifs donnés.
   On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où elle réalise un bénéfice sur les 3 jours successifs.
   a) Déterminer les valeurs prises par X.
   b) Déterminer la loi de probabilité de X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

3. 3

   Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2. On note $p_n$ la probabilité que Mariam réalise au moins une fois un bénéfice pendant $n$ jours successifs sur une période de n jours.
   a) Justifier que pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 : $p_n=1-(0,42{)}^n$.
   b) Déterminer la valeur minimale de $n$ pour qu'on ait $p_n\ge 0,9999$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit $r$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $r(x)=x{e}^{-x}$.
   On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }+y=r$.
   Soit $g$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x\in \mathbb{R},g(x)=\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}$.

   Démontrer que $g$ est une solution de l'équation (E).

2. A.2

   Soit l'équation différentielle (F) : $y^{\prime }+y=0$.
   a) Démontrer qu'une fonction $\phi$ est solution de (E) si et seulement si $\phi -g$ est une solution de (F).
   b) Résoudre l'équation différentielle (F).
   c) En déduire la solution $\phi$ de (E) qui vérifie $\phi (0)=-\frac{3}{2}$.

3. B.1

   Partie B
   On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x^2-3}{2}{e}^{-x}$.
   On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J), d'unités graphiques : OI = 2 cm ; OJ = 4 cm.

   a) Calculer : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Démontrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet en $-\infty$ une branche parabolique de direction celle de (OJ).

4. B.2

   Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement ce résultat.

5. B.3

   a) Soit $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. Démontrer que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=\frac{3+2x-x^2}{2}{e}^{-x}$.
   b) Étudier les variations de $f$.
   c) Dresser le tableau de variations de $f$.

6. B.4

   Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0 est :
   $y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$.

7. B.5

   Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'axe des abscisses.

8. B.6

   Représenter graphiquement (T) et $(\mathcal{C})$.

9. C.1

   Partie C
   À l'aide d'une intégration par parties, calculer : ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$.

10. C.2

    a) Vérifier que $f$ est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A.
    b) En déduire que : $\forall x\in \mathbb{R},f(x)=-f^{\prime }(x)+x{e}^{-x}$.
    c) En utilisant la question précédente, calculer en cm² l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (OI) et les droites d'équations : $x=0$ et $x=1$.