Sujet du BAC D 2014 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4,5 points

1. 1

   a) Démontrer que l'écriture complexe de $\mathcal{S}$ est : $z^{\prime }=\frac{1}{2}(1-i)z$.
   b) Déterminer les éléments caractéristiques de $\mathcal{S}$.
   c) Déterminer l'affixe du point D qui a pour image le point C par $\mathcal{S}$.

2. 2

   a) Justifier que l'affixe $z_1$ du point $B_1$, image de B par $\mathcal{S}$ est $\frac{1}{2}(1-5i)$.
   b) Justifier que le triangle $OB{B}_1$ est rectangle et isocèle en $B_1$.

3. 3

   On définit les points suivants : $B_0=B$ et $\forall n\in \mathbb{N},B_{n+1}=\mathcal{S}(B_n)$.
   On note : $z_n$ l'affixe de $B_n$.
   a) Démontrer par récurrence que :
   $\forall n\in \mathbb{N},z_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n(1-i{)}^n{z}_0$.
   b) Calculer la distance $O{B}_n$ en fonction de $n$.
   c) Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }O{B}_n$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

1. 1

   Représenter le nuage de points associé à la série statistique double (X ; Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé. (Unité graphique : 1 cm).
   On prendra pour origine du graphique le point $\Omega \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{24}\right)$.

2. 2

   Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série statistique (X, Y).

3. 3

   Justifier que :
   a) la variance de X est $\frac{20}{3}$ ;
   b) la covariance de X et Y est $\frac{44}{3}$.

4. 4

   a) Sachant que la variance de Y est égale à $\frac{98}{3}$, déterminer la valeur du coefficient de corrélation linéaire.
   b) Justifier que ce résultat permet d'envisager un ajustement linéaire.

5. 5

   Soit (D) la droite d'ajustement de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.
   a) Déterminer une équation de (D).
   b) Tracer (D).

6. 6

   On suppose que l'évolution se poursuit de la même manière au cours des années suivantes.
   Donner une estimation du nombre de bacheliers qui accéderont aux études supérieures en 2020.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit $g$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x+(ax+b)e^{-x}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
   Dans le plan muni du repère (O, I, J), on désigne par :

   $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $g$ ;
   (D) la droite d'équation $y=x$.

   a) On donne : $g(0)=1$. Déterminer la valeur de $b$.
   b) On admet que la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite (D).
   Déterminer la valeur de $a$.

2. A.2

   Soit $h$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=e^x-x$.
   a) Soit $h^{\prime }$ la fonction dérivée de $h$.
   Calculer $h^{\prime }(x)$, pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$.
   b) Dresser le tableau de variation de $h$.
   On ne calculera pas les limites de $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   c) En déduire que : $\forall x\in \mathbb{R},h(x)>0$.

3. B.1

   Partie B
   Soit $f$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x+(x+1)e^{-x}$.

   a) Calculer la limite de $f$ en $-\infty$.
   b) Justifier que : $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\infty$.
   c) Donner une interprétation graphique de ces résultats.

4. B.2

   a) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
   b) Démontrer que (D) est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   c) Etudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et (D).

5. B.3

   a) On désigne par $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$.
   Démontrer que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=e^{-x}h(x)$.
   b) Déterminer le sens de variation de $f$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$.

6. B.4

   Construire sur le même graphique (T), (D) et $(\mathcal{C})$.

7. B.5

   a) Démontrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
   b) On note $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f$.
   Calculer $(f^{-1}{)}^{\prime }(1)$.
   c) Construire $(\Gamma )$ la courbe représentative de $f^{-1}$ sur le même graphique que $(\mathcal{C})$.

8. C.1

   Partie C
   On pose : $\forall n\in \mathbb{N},I_n={\int }_{-1}^n(t+1)e^{-t}dt$.

   À l'aide d'une intégration par parties,
   démontrer que : $\forall n\in \mathbb{N},I_n=(-2-n)e^{-n}+e$.

9. C.2

   Calculer l'aire ${\mathcal{A}}_n$ en cm² de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x=-1$ et $x=n$.

10. C.3

    Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathcal{A}}_n$.