Sujet du BAC D 2013 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   a) Placer les points K, A et B.
   b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}$.

2. 2

   On note S la similitude directe de centre K qui transforme A en B.
   a) Démontrer que l'écriture complexe de S est : $z^{\prime }=(1+i)z-2i$.
   b) Déterminer les affixes respectives des points I' et J', images respectives des points I et J puis placer I' et J'.

3. 3

   Déterminer le rapport et une mesure de l'angle orienté de la similitude directe S.

4. 4

   Soit (C) le cercle de centre $\Omega (1;1)$ et de rayon 2.
   a) Tracer (C).
   b) Déterminer le centre et le rayon de (C'), image de (C) par S.
   c) Construire (C').

5. 5

   a) Déterminer puis construire l'image par S de la droite (IJ).
   On pourra caractériser l'image par S de la droite (IJ) par deux de ses points.
   b) On désigne par E le point d'intersection de (C) et la droite (IJ) d'abscisse négative.
   Placer E et l'image E' de E par S. Justifier la position du point E'.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

1. 1

   Déterminer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.

2. 2

   Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\frac{1}{2}x+2$ et de représentation graphique (D).
   a) Tracer (D) et la droite (Δ) d'équation $y=x$.
   b) Placer $u_0$ sur l'axe (OI).
   c) À l'aide de (D) et (Δ), placer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ de la suite $(u)$ sur l'axe (OI).

3. 3

   a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\le 4$.
   b) Démontrer que la suite $(u)$ est croissante.
   c) En déduire que la suite $(u)$ est convergente.

4. 4

   On considère la suite $(v)$ définie par $v_n=u_n-4$, pour tout nombre entier naturel $n$.
   Démontrer que la suite $(v)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

5. 5

   On pose, pour tout nombre entier naturel $n$ :

   $T_n=v_0+v_1+\cdots +v_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $(v)$ ;
   $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $(u)$.

   a) Déterminer une expression de $T_n$ en fonction de $n$.
   b) Justifier que : $S_n=2(\sqrt{2}-4)\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)+4(n+1)$.
   c) Déterminer la limite de $S_n$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11,5 points

1. 1

   a) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ puis donner une interprétation graphique du résultat.
   c) Calculer la limite de $f$ à gauche en 1 puis donner une interprétation graphique du résultat.

2. 2

   a) Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]-\infty ;1[$, calculer $f^{\prime }(x)$.
   b) Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;1[$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$.

3. 3

   a) Démontrer que l'équation (E) : $x\in ]-\infty ;1[,f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
   b) Justifier que $-0,7<\alpha <-0,6$.

4. 4

   a) Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0 est :
   $y=-x-1$.
   b) On donne le tableau de valeurs suivant :

   $x$	−2	−1,5	−1	−0,75	−0,5	−0,25	0,25	0,5	0,75
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$	4,1	2,2	0,7	0,1	−0,3	−0,7	−1,2	−1,4	−1,8

   Tracer (T) et (C).
   On pourra faire la figure dans la partie du plan caractérisée par $\{\begin{array}{l}-3\le x\le 5\\ -4\le y\le 6\end{array}$.

5. 5

   On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par (C), la droite (OI) et les droites d'équations respectives $x=\alpha$ et $x=0$.
   a) Calculer ${\int }_{\alpha }^0\ln (1-x)dx$ à l'aide d'une intégration par parties.
   b) Démontrer que la valeur de $\mathcal{A}$ en unités d'aire est : $\mathcal{A}=\frac{{\alpha }^3}{3}-2\alpha -(1-\alpha )\ln (1-\alpha )$.
   c) Déterminer en cm² l'arrondi d'ordre 2 de la valeur de $\mathcal{A}$ pour $\alpha =-0,65$.

6. 6

   Soit $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f$ et (C') la courbe représentative de $f^{-1}$ dans le plan muni du repère (O, I, J).
   a) Calculer $f(-1)$.
   b) Démontrer que le nombre dérivé de $f^{-1}$ en $\ln 2$ existe puis le calculer.
   c) Construire la courbe (C') et sa tangente (Δ) au point d'abscisse $\ln 2$ sur la figure de la question 4-b).