Sujet du BAC D 2012 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série statistique double de caractère (X ; Y) dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J). On prendra 2 cm pour 10 centaines de francs sur (OI) et 2 cm pour 2 dizaines de colliers sur (OJ).

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.

3. 3

   a) Calculer la variance V(X) de X.
   b) Calculer la covariance COV(X ;Y) de la série statistique double de caractère (X ; Y).
   c) On admet que V(Y) = 14,50. Démontrer que l'arrondi d'ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire est égal à − 0,99.

4. 4

   Soit (D) la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés.
   a) Justifier que l'arrondi d'ordre 2 du coefficient directeur de (D) est égal à − 0,23.
   b) Démontrer qu'une équation de la droite (D) est : $y=-0,23x+29,94$.

5. 5

   Pour l'année 2011, Madame Kouamé souhaite fabriquer un nouveau type de collier qu'elle vendrait à 11 500 francs CFA l'unité. Combien de colliers de ce type pourrait-elle vendre selon l'ajustement linéaire réalisé ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{4}{x}\right)$.
   On note (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J) où les unités respectives sur (OI) et (OJ) sont 4 cm et 2 cm.
   La courbe (C) et la droite (D) d'équation $y=x$ sont tracées sur la feuille annexe à rendre avec la copie (ci-dessous).

   a) Représenter sur l'axe des abscisses (OI) les termes $U_1$, $U_2$, et $U_3$ de la suite U en utilisant la courbe (C) et la droite (D).
   b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de la suite U ?

2. 2

   On admet que $f$ est continue et strictement croissante sur $[2;3]$.
   a) Démontrer que $f([2;3])\subset [2;3]$.
   b) En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier $n\ge 1$,
   $2\le U_n\le 3$.

3. 3

   a) Démontrer que la suite U est décroissante.
   b) En déduire que la suite U est convergente.

4. 4

   On considère la suite V définie sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ par : $V_n=\frac{U_n-2}{U_n+2}$.
   a) Démontrer que pour tout entier $n\ge 1$, $V_{n+1}=(V_n{)}^2$.
   b) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\ge 1$, $V_n=(V_1{)}^{2^{n-1}}$.
   c) Calculer $V_1$ puis exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
   d) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
   e) Démontrer que $\lim V=0$. En déduire la limite de U.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A

   On considère la fonction $g$ dérivable et définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=e^x+2\ln x$.

   a) Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.
   b) Calculer $g^{\prime }(x)$.
   c) Etudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variation.

2. A.2

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.
   b) Vérifier que $0,4<\alpha <0,5$.
   c) Démontrer que :

   $\forall x\in ]0;\alpha [,g(x)<0$ ;
   $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [,g(x)>0$.

3. B.1

   Partie B

   On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $\{\begin{array}{l}f(x)=e^x+2x\ln x-2x\text{si }x>0\\ f(0)=1\end{array}$.
   On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
   L'unité graphique est 4 cm.

   a) Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
   b) Interpréter graphiquement les résultats.

4. B.2

   a) Démontrer que $f$ est continue en 0.
   b) Démontrer que : $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=-\infty$.
   c) La fonction $f$ est-elle dérivable en 0 ? Justifier la réponse.
   d) Interpréter graphiquement le résultat de la question 2.b).

5. B.3

   On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   a) Démontrer que : $\forall x\in ]0;+\infty [,f^{\prime }(x)=g(x)$.
   b) Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

6. B.4

   Tracer la courbe (C) sur l'intervalle $[0;2]$. (On prendra $\alpha =0,45$ et on admettra que la courbe (C) coupe la droite (OI) en deux points d'abscisses respectives 0,3 et 0,6.)

7. B.5

   a) On pose $K={\int }_1^{2}x\ln xdx$. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $K=2\ln 2-\frac{3}{4}$.
   b) Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm² de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite (OI) et les
   droites d'équations respectives $x=1$ et $x=2$.
   Calculer $\mathcal{A}$ puis donner l'arrondi d'ordre 2 du résultat.