Sujet du BAC D 2007 de mathématiques, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC D 2007 en Côte d’Ivoire, en entier (3 exercices, 4 heures, coefficient 4). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé.

Durée : 4 heures
Coefficient 4
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (4,5 points): 4 questions sur les suites.
Exercice 2 (4,5 points): 6 questions sur les probabilités.
Exercice 3 (11 points): Problème — 12 questions sur les fonctions et les études de fonctions.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 11 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 4 heures : comptez environ 65 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Quand le sujet donne un résultat (« montrer que… »), servez-vous-en pour la suite, même si vous n’avez pas réussi à le démontrer.
Soignez les figures : une figure juste aide à trouver la réponse et rapporte souvent des points.

L’énoncé complet

BAC D 2007 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC D 2007, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 4 · 2 exercices et un problème · 20 points. Chaque candidat recevra deux (02) feuilles de papier millimétré. Toute calculatrice est autorisée.

Exercice 1 · 4,5 points

On considère les suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ définies par $U_{0} = 4$ et $V_{0} = 9$ et pour tout entier naturel n :
$U_{n + 1} = \frac{2 U _{n} V _{n}}{U _{n} + V _{n}}$ et $V_{n + 1} = \frac{1}{2} (U_{n} + V_{n})$

1
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $U_{n} > 0$ et $V_{n} > 0$ .
2
a) Démontrer que : $\forall n \in N, V_{n + 1} - U_{n + 1} = \frac{( V _{n} - U _{n} ) ^{2}}{2 ( U _{n} + V _{n} )}$ .
b) En déduire que : $\forall n \in N, U_{n} \leq V_{n}$
et que : $V_{n + 1} - U_{n + 1} \leq \frac{1}{2} (V_{n} - U_{n})$ .
c) En déduire que : $\forall n \in N, V_{n} - U_{n} \leq \frac{5}{2 ^{n}}$ .
3
a) Démontrer que la suite $(U_{n})$ est croissante et que la suite $(V_{n})$ est décroissante.
b) En déduire que les suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ convergent.
c) Démontrer que les suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ ont la même limite $ℓ$ .
4
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, $U_{n + 1} V_{n + 1} = U_{n} V_{n}$ .
b) En déduire la valeur exacte de $ℓ$ .

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

Une population d'élèves comportant 40% de bacheliers a subi un test de recrutement en première année d'une grande école.
Ce test a donné les résultats suivants :
• 75% des bacheliers sont admis ;
• 52% des non bacheliers sont admis.

A.1
Partie A
On choisit au hasard un élève de la population. On note :
B l'évènement : « l'élève est bachelier » ;
T l'évènement : « l'élève est admis au test » ;
A l'évènement : « l'élève est bachelier et est admis au test ».

Préciser chacune des probabilités suivantes :
a) la probabilité P(B) de l'événement B ;
b) la probabilité $P_{B} (T)$ de T sachant que B est réalisé ;
c) la probabilité $P_{B} (T)$ de T sachant que B n'est pas réalisé.
A.2
Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à 0,3.
A.3
Calculer la probabilité de l'événement T.
A.4
Déduire des questions précédentes que les événements B et T ne sont pas indépendants.
A.5
Démontrer que la probabilité pour qu'un élève admis au test soit bachelier est égal à $\frac{25}{51}$ .
B
Partie B
On choisit au hasard 5 élèves de la population étudiée.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'étudiants bacheliers et admis au test parmi les 5 choisis.

1. Démontrer que la probabilité pour que 3 seulement des 5 élèves choisis soient bacheliers et admis au test est égale à 0,1323.
2. Calculer l'espérance mathématique de X.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

L'objet de ce problème est l'étude de chacune des fonctions f, g et h définies ci-dessous.
• f est la fonction dérivable et définie sur $R - {- 1}$ par : $f (x) = \frac{x - 3}{x + 1}$
• g est la fonction définie sur l'ensemble $D_{g} = [0; \frac{1}{e} [\cup] \frac{1}{e}; + \infty [$ , par : $g (x) = f (ln x)$ et $g (0) = 1$ .
• h est la fonction dérivable sur $R$ et définie par $h (x) = f (e^{x})$ .

A.1
Partie A
Démontrer que :
a) $\forall x \in D_{g}$ et $x \neq = 0$ , $g (x) = 1 - \frac{4}{ln x + 1}$ ;
b) $\forall x \in R$ , $h (x) = 1 - \frac{4}{e ^{x} + 1}$ .
A.2
a) Déterminer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
b) Déterminer $x \to - 1^{-} lim f (x)$ et $x \to - 1^{+} lim f (x)$ .
A.3
Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
B.1
Partie B
On note $(C_{g})$ la représentation graphique de g dans le plan muni du repère orthogonal $R_{1} = (O, I, J)$ .
L'unité sur (OI) est 1 cm et sur (OJ) est 2 cm.

a) Démontrer que g est continue en 0.
b) Démontrer que $(C_{g})$ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 0.
B.2
a) Déterminer $x \to + \infty lim g (x)$ puis donner une interprétation graphique du résultat.
b) Déterminer $x \to \frac{1}{e}^{-} lim g (x)$ et $x \to \frac{1}{e}^{+} lim g (x)$ puis donner une interprétation graphique du résultat.
B.3
Démontrer que g est strictement croissante puis dresser son tableau de variation.
B.4
Tracer $(C_{g})$ et ses asymptotes dans le repère $R_{1}$ .
C.1
Partie C
On note $(C_{h})$ la représentation graphique de h dans le plan muni du repère orthonormé $R_{2} = (O, I, J)$ .
L'unité graphique est 1 cm.

Déterminer $x \to - \infty lim h (x)$ et $x \to + \infty lim h (x)$ , puis interpréter graphiquement les résultats.
C.2-3
2. Démontrer que, pour tout nombre réel x, $h^{'} (x) = \frac{4 e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}$ .
3. En déduire les variations de h puis dresser son tableau de variation.
C.4
On note A et B les points d'intersection respectifs de $(C_{h})$ avec les droites (OI) et (OJ).
a) Déterminer les coordonnées de chacun des points A et B.
b) Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à $(C_{h})$ en B est $y = x - 1$ .
c) Démontrer que B est un centre de symétrie de $(C_{h})$ .
C.5
a) Démontrer que h réalise une bijection de $R$ sur un intervalle que l'on précisera.
b) Déterminer l'expression explicite de la bijection réciproque $h^{- 1}$ de h.
C.6
a) Tracer (T), $(C_{h})$ et ses asymptotes dans le repère $R_{2}$ .
b) En déduire la représentation graphique $(Γ)$ de la fonction réciproque $h^{- 1}$ dans le repère $R_{2}$ .

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

Initialisation et hérédité immédiates.

La démarche

Récurrence double.

Les erreurs à éviter

Oublier la conclusion.

Le corrigé des 21 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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