Sujet du BAC D 2008 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Vérifier que $i$ est une solution de l'équation (E).
   b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
   $z^2+(6-4i)z+5-14i=0$
   c) Résoudre à l'aide des questions qui précèdent l'équation (E).

2. 2

   On considère les points A, B, et D d'affixe respectives $u=i$ ; $v=-2+3i$ et $t=-4+i$.
   a) Placer les points A, B et D dans le repère.
   b) Écrire le nombre complexe $Z=\frac{u-v}{t-v}$ sous forme trigonométrique.
   c) En déduire que le triangle ABD est rectangle isocèle en B.

3. 3

   Soit S la similitude directe de centre A qui transforme D en B.
   B' est l'image de B par S.
   a) Justifier que le triangle ABB' est rectangle isocèle en B'.
   b) En déduire la construction du point B'.

4. 4

   a) Déterminer l'écriture complexe de S.
   b) Calculer l'affixe de B'.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Représenter graphiquement le nuage de points associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité graphique est 1 cm.

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage puis le placer dans le repère.

3. 3

   a) Vérifier que la covariance cov(X, Y) de la série statistique est égale à $\frac{57}{4}$.
   b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.

4. 4

   Démontrer qu'une équation de la droite (D) de régression de Y en fonction de X par la méthode des moindres carrés est : $Y=\frac{19}{22}X-\frac{17}{44}$.

5. 5

   Sur la base de l'ajustement linéaire ainsi réalisé, calculer la note probable de mathématiques d'un candidat qui a obtenu 15 sur 20 en sciences physiques.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A

   Partie A
   Soit g la fonction dérivable sur $]0;+\infty [$ et définie par $g(x)=2x^2+1-\ln x$.

   1. Etudier les variations de g puis dresser son tableau de variation. (On ne demande pas de calculer les limites).
   2. Justifier que : $\forall x\in ]0;+\infty [$ $g(x)>0$.

2. B.1

   Partie B
   a) Calculer la limite de f en $+\infty$.
   b) Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat.

3. B.2

   a) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=2x-3$ est une asymptote à (C) en $+\infty$.
   b) Préciser la position de (C) par rapport à (D).

4. B.3

   a) Démontrer que pour tout nombre réel strictement positif x, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$.
   b) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
   c) Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1 est : $y=3x-4$.

5. B.4

   a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
   b) Justifier que : $1,3<\alpha <1,4$.

6. C.1

   Partie C
   On pose : $\phi (x)=f(x)-(3x-4)$ et $h(x)=-x^2+1-\ln x$.

   a) Déterminer le sens de variation de h sur $]0;+\infty [$.
   b) Calculer h(1) puis justifier que :
   $\forall x\in ]0;1[,h(x)>0$ ;
   $\forall x\in ]1;+\infty [,h(x)<0$.

7. C.2

   a) Démontrer que : $\forall x\in ]0;+\infty [$ ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{h(x)}{x^2}$.
   b) Etudier les variations de $\phi$ puis en déduire le signe de $\phi (x)$ suivant les valeurs de x.
   c) Déterminer la position de (C) par rapport à la tangente (T).

8. D.1

   Partie D
   Tracer la courbe (C), la droite (D) et la tangente (T). On prendra $\alpha =1,35$.

9. D.2

   Calculer en cm² l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.