Sujet du BAC C 2024 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. Soit $(\Delta )$ une droite et $\vec{u}$ un vecteur non nul. On note $S_{(\Delta )}$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta )$ et $t_{\vec{u}}$ la translation de vecteur $\vec{u}$. Si $\vec{u}$ est normal à $(\Delta )$, alors la composée $S_{(\Delta )}\circ t_{\vec{u}}$ est une symétrie glissée.

   2. 2. Soit (X, Y) une série statistique à deux variables. Une équation de la droite de régression de X en Y par la méthode des moindres carrés est :
         $x=\frac{cov(X,Y)}{V(X)}(y-\overline{Y})+\overline{X}$.

   3. 3. Toute similitude directe du plan de rapport 1 est une isométrie du plan.

   4. 4. La suite géométrique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=-2{\left(\frac{3}{5}\right)}^n$ est divergente.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }+2y=0$ sont les fonctions :

      1. A$x\mapsto 2x+k,k\in \mathbb{R}$
      2. B$x\mapsto k{e}^{2x},k\in \mathbb{R}$
      3. C$x\mapsto k{e}^{-2x},k\in \mathbb{R}$
      4. D$x\mapsto k(e^{2x}+e^{-2x}),k\in \mathbb{R}$

   2. 2. L'ensemble de définition de la fonction $h$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $h(x)=\ln (\ln (-x))$ est :

      1. A$]-\infty ;-1[$
      2. B$]-\infty ;0[$
      3. C$]-1;0[$
      4. D$]1;+\infty [$

   3. 3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$, les coordonnées du foyer de la parabole d'équation $y^2-2y+4x+5=0$ sont :

      1. A$(-2;1)$
      2. B$(2;-1)$
      3. C$(-1;0)$
      4. D$(-2;-1)$
   4. 4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
         Si un plan (P) a pour équation cartésienne $y=x-1$ et une droite $(\Delta )$ a pour représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2t\\ z=-t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$, alors le plan (P) et la droite $(\Delta )$ sont :
      1. Aorthogonaux
      2. Bparallèles
      3. Csécants au point $E\left(2;1;-\frac{1}{2}\right)$
      4. Dsécants au point $F\left(2;1;\frac{1}{2}\right)$

Exercice 3 · 3 points

1. 1

   Traduis la situation décrite par l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilité.
   (Tu le compléteras par la suite.)

2. 2.a

   Calcule la probabilité pour que le pagne basin provienne du fournisseur A et présente des défauts.

3. 2.b

   Démontre que la probabilité de $B\cap D$ est égale à 0,03.

4. 2.c

   On prélève au hasard un pagne basin provenant du fournisseur B.
   Détermine la probabilité pour qu'il présente des défauts.

5. 2.d

   Complète l'arbre de probabilité de la question 1.

6. 3.a

   Un gérant de magasin de vente de pagnes basin achète cent pagnes chez ce grossiste. On suppose que les pagnes basin sont choisis au hasard l'un après l'autre de façon indépendante. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de pagnes basin avec des défauts.
   Justifie que X suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.

7. 3.b

   Calcule l'espérance mathématique E(X) de X, puis interprète le résultat obtenu.

Exercice 4 · 4 points

1. 1.a

   Justifie que : $(4-2i{)}^2=12-16i$.

2. 1.b

   Résous dans $\mathbb{C}$, l'équation (E) : $z^2-(2+6i)z-11+10i=0$.

3. 2.a

   On considère dans $\mathbb{C}$ le polynôme $P$ tel que : $P(z)=z^3+(1-6i)z^2-(17+8i)z-33+30i$.
   Calcule $P(-3)$.

4. 2.b

   Justifie que : $\forall z\in \mathbb{C},P(z)=(z+3)\left[z^2-(2+6i)z-11+10i\right]$.

5. 2.c

   Déduis-en les solutions de l'équation : $z\in \mathbb{C},P(z)=0$.

6. 3.a

   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. (Unité graphique : 1 cm)
   On considère les points A ; B et C d'affixes respectives $-3$ ; $-1+4i$ et $3+2i$.
   Place les points A, B et C.

7. 3.b

   Justifie que ABC est un triangle rectangle isocèle en B.

8. 3.c

   Soit D le point d'affixe $1-2i$.
   Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques.

9. 4.a

   Soit $(\Gamma )$ l'ensemble des points M du plan tel que : $-M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=-20$.
   Soit G le barycentre des points pondérés (A, −1) ; (B, 1) et (C, 1).
   Détermine l'affixe $z_G$ du point G, puis place ce point.

10. 4.b

    Justifie que le point C appartient à $(\Gamma )$.

11. 4.c

    Détermine et construis $(\Gamma )$.

Exercice 5 · 4 points

1. I.1.a

   Partie I
   Calcule : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.

2. I.1.b

   Donne une interprétation graphique des résultats précédents.

3. I.2.a

   Étudie la dérivabilité de $f$ en 0.

4. I.2.b

   Interprète graphiquement le résultat de la question 2. a).

5. I.3.a

   On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   Justifie que : $\forall x\in ]0;+\infty [,f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}{e}^{\sqrt{x}}}{2x}$.

6. I.3.b

   Dresse le tableau de variation de $f$.

7. I.4

   Construis la courbe $(\mathcal{C})$.

8. II.1.a

   Partie II
   Soit $g$ et $h$ deux fonctions définies sur $[0;+\infty [$ par : $g(x)=x^2$ et $h(x)={\int }_0^x{e}^{\sqrt{t}}dt$.
   On désigne par $\psi$ la fonction dérivable sur $[0;+\infty [$ et définie par : $\psi (x)=(h\circ g)(x)$.
   Calcule $\psi (0)$.

9. II.1.b

   Justifie que : $\forall x\in [0;+\infty [,{\psi }^{\prime }(x)=2x{e}^x$.

10. II.1.c

    Déduis des questions 1. a) et 1. b) que : $\forall x\in [0;+\infty [,\psi (x)=2(x-1)e^x+2$.

11. II.2.a

    On pose : $M={\int }_0^1{e}^{\sqrt{t}}dt$.
    Calcule $\psi (1)$ puis déduis-en la valeur de M.

12. II.2.b

    Déduis de tout ce qui précède l'aire $\mathcal{A}$, en cm², de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation : $x=1$.

Exercice 6 · 5 points

1. Situation

   En utilisant tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de ta maman.