Sujet du BAC C 2023 de mathématiques, avec corrigé

6 exercices, 4 heures, coefficient 5 : c’est l’épreuve de mathématiques du BAC C 2023. Tout l’énoncé est sur cette page, avec le corrigé de la première question. La première question se fait en ligne, avec la correction tout de suite.

Durée : 4 heures
Coefficient 5
Noté sur 20
6 exercices

Faire la question 1 en ligne

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (2 points): Un Vrai/Faux.
Exercice 2 (2 points): Un questionnaire à choix multiple.
Exercice 3 (3 points): 6 questions sur les probabilités.
Exercice 4 (4 points): 10 questions sur la fonction logarithme et la fonction exponentielle.
Exercice 5 (4 points): 9 questions sur les équations et l’arithmétique.
Exercice 6 (5 points): Une question de rédaction sur les fonctions.

Comment le travailler

6 exercices en 4 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
La question 1 se fait en ligne sur cette page : répondez d’abord, puis lisez le corrigé.
Encadrez vos résultats et numérotez les questions comme dans le sujet : le correcteur vous suit plus facilement.
Vérifiez vos calculs avec la calculatrice quand elle est autorisée, mais écrivez toujours les étapes sur la copie.

L’énoncé complet

BAC C 2023 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC C 2023, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 5 · 6 exercices · 20 points. Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

Exercice 1 · 2 points

Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de chaque proposition du tableau ci-dessous suivi de Vrai si la proposition est vraie ou de Faux si la proposition est fausse.

1. 1. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ , si (P) est le plan d'équation cartésienne : $2 x + 3 y + 4 z - 8 = 0$ , alors un vecteur normal à (P) est : $n (1; \frac{3}{2}; 2)$ .
2. 2. Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'ellipse d'équation réduite : $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ , de demi distance focale $7$ a pour foyers F et F' tels que : $F (7; 0)$ et $F^{'} (- 7; 0)$ .
3. 3. Une corrélation linéaire entre deux caractères X et Y d'une série statistique double est forte lorsque le coefficient de corrélation linéaire $r$ est tel que : $r < 0, 87$ .
4. 4. Soient A et B deux points distincts du plan. La composée $r_{(A; \frac{π}{3})} \circ t_{A B}$ est une rotation d'angle $\frac{π}{3}$ .

À vous de jouer

Faites la première question ici

1. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ , si (P) est le plan d'équation cartésienne : $2 x + 3 y + 4 z - 8 = 0$ , alors un vecteur normal à (P) est : $n (1; \frac{3}{2}; 2)$ .
2. Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'ellipse d'équation réduite : $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ , de demi distance focale $7$ a pour foyers F et F' tels que : $F (7; 0)$ et $F^{'} (- 7; 0)$ .
3. Une corrélation linéaire entre deux caractères X et Y d'une série statistique double est forte lorsque le coefficient de corrélation linéaire $r$ est tel que : $r < 0, 87$ .
4. Soient A et B deux points distincts du plan. La composée $r_{(A; \frac{π}{3})} \circ t_{A B}$ est une rotation d'angle $\frac{π}{3}$ .

Cliquez sur votre réponse : la correction s’affiche tout de suite.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des lignes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie.

1. 1. La suite $(u_{n})_{n \in N}$ de terme général : $u_{n} = (\frac{- 2}{3})^{n}$ a pour limite …
  1. A $+ \infty$
  2. B $- \infty$
  3. C $0$
  4. D $- \frac{2}{3}$
2. 1. PQRS est un carré de centre O tel que le triplet (P, Q, R) soit de sens direct. I et J sont les milieux respectifs des segments [QR] et [RS].
    La composée $r_{(O; \frac{π}{2})} \circ S_{(QR)}$ est la symétrie glissée d'axe (IJ) et de vecteur…
  1. A $QS$
  2. B $O Q$
  3. C $S Q$
  4. D $QO$
3. 1. On admet que : $\forall x \in [0; 1], \frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1$ .
    La fonction F définie sur $[0; 1]$ par : $F (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t$ est telle que …
  1. A $x - 1 \leq F (x) \leq \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$
  2. B $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \leq F (x) \leq x - 1$
  3. C $1 - x \leq F (x) \leq \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$
  4. D $\frac{1}{2} - \frac{x}{2} \leq F (x) \leq 1 - x$
4. 1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A, B et C d'affixes respectives : $2$ ; $2 + 2 i$ et $2 i$ .
    La similitude directe de centre A qui transforme B en C a pour angle et pour rapport …
  1. A $\frac{π}{4}$ et $2$
  2. B $\frac{π}{4}$ et $\frac{2}{2}$
  3. C $- \frac{π}{4}$ et $2$
  4. D $- \frac{π}{4}$ et $\frac{2}{2}$

Exercice 3 · 3 points

Des scientifiques participent à un séminaire sur le thème : « Le réchauffement climatique et ses conséquences sur les économies des pays ».
Une enquête organisée par un organisme international a révélé que 75 % des scientifiques croient au réchauffement climatique et parmi ceux-ci, il y a des écologistes.
Selon cette enquête :
• la probabilité qu'un scientifique qui croit au réchauffement climatique soit un écologiste est 0,6 ;
• la probabilité qu'un scientifique qui ne croit pas au réchauffement climatique ne soit pas un écologiste est 0,08.
On choisit un scientifique au hasard ayant participé au séminaire.
On désigne par :
R l'évènement : « Le scientifique interrogé croit au réchauffement climatique » ;
E l'évènement : « Le scientifique interrogé est un écologiste ».

1.a
Traduis cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
1.b
Donne les probabilités suivantes : $P (R)$ ; $P_{R} (E)$ ; $P_{R} (E)$ .
2.a
Calcule : $P_{R} (E)$ .
2.b
Justifie que : $P (R \cap E) = 0, 23$ .
3.a
Justifie que la probabilité qu'un scientifique interrogé soit un écologiste est 0,68.
3.b
Un scientifique interrogé est un écologiste.
Calcule la probabilité qu'il ne croit pas au réchauffement climatique.
(Tu donneras l'arrondi d'ordre 2 du résultat).

Exercice 4 · 4 points

Soit $m$ un nombre réel et $f_{m}$ la fonction de $R$ vers $R$ , définie par : $f_{m} (x) = x + ln (1 - m e^{- x})$ .
On note $D_{m}$ l'ensemble de définition de $f_{m}$ et on désigne par $(C_{m})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
On désigne par (D) la droite d'équation : $y = x$ .

1.a
Justifie que :
Si $m \leq 0$ , alors $D_{m} = R$ .
1.b
Si $m > 0$ , alors $D_{m} =] ln (m); + \infty [$ .
2.a
On suppose que $f_{m}$ est dérivable sur $D_{m}$ pour tout nombre réel $m$ .
Justifie que pour tout $x$ de $D_{m}$ , $f_{m}^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} - m}$ .
2.b
Justifie que pour $m \leq 0$ , $f_{m}$ est strictement croissante sur $R$ .
2.c
Justifie que pour $m > 0$ , $f_{m}$ est strictement croissante sur $] ln (m); + \infty [$ .
3.a
Démontre que pour tout nombre réel $m$ , $f_{m}$ est une bijection sur $D_{m}$ .
3.b
Etablis que pour tout nombre réel $m$ et pour tout nombre réel $x$ élément de $f_{m} (D_{m})$ , on a : $f_{m}^{- 1} (x) = f_{- m} (x)$ .
3.c
Déduis de la question précédente, une méthode de construction de $(C_{- m})$ dans le même repère que $(C_{m})$ .
4.a
On suppose que $m$ et $p$ sont des nombres réels strictement positifs.
Justifie que $(C_{p})$ est l'image de $(C_{1})$ par la translation T de vecteur $u (ln p; ln p)$ .
4.b
Détermine la translation T' qui transforme $(C_{p})$ en $(C_{m})$ .

Exercice 5 · 4 points

On considère l'équation (E) : $4 x - y = 2$ où les inconnues $x$ et $y$ appartiennent à $Z$ .

1.a
Démontre que si le couple $(x_{0}, y_{0})$ est une solution de (E), alors $y_{0}$ est pair.
1.b
Détermine les valeurs possibles de $P GC D (x_{0}, y_{0})$ .
2.a
Vérifie que le couple $(1; 2)$ est une solution de (E).
2.b
Résous l'équation (E).
3
Détermine l'ensemble des couples $(x, y)$ solutions de (E) tels que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
4.a
$a c 2^{3}$ et $baa^{4}$ sont deux écritures du même entier naturel $p$ respectivement en base 3 et en base 4.
Justifie que $3 c + 2$ est multiple de 4.
4.b
Déduis-en que $c$ est égal à 2.
4.c
Détermine les valeurs de $a$ et de $b$ . (Tu pourras utiliser 2.b).
4.d
Ecris $p$ dans le système décimal.

Exercice 6 · 5 points

Une étudiante en histoire ancienne veut rédiger son mémoire de Master 2. Au cours de ses recherches, elle décide de déterminer l'âge d'un fragment d'os découvert par des archéologues.
L'information dont elle dispose est que le fragment découvert a une teneur en carbone 14 égale à 70% de celle d'un fragment d'os actuel de même masse pris comme témoin.
Au cours de sa formation, elle a appris que :

- Si $t$ est l'âge en années de l'os découvert, alors la quantité restante de carbone 14 dans le fragment d'os est $P (t)$ où P est une fonction de $t$ .
- La dérivée P' de la fonction P est égale au produit de P par l'opposé de la constante radioactive de carbone 14, notée $λ$ ( $λ = 1, 2444 \times 1 0^{- 4}$ ).
- La quantité $P_{0}$ de carbone 14 d'un organisme vivant commence à diminuer à partir de la mort de cet organisme à l'instant $t$ égal à zéro.

N'ayant pas suffisamment de connaissance pour exploiter ces données, elle te sollicite.

Situation
À l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de l'étudiante.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de l’exercice 1

La réponse

1. Vrai.

2. Faux.

3. Faux.

4. Vrai.

La démarche

1. $(1; \frac{3}{2}; 2) = \frac{1}{2} (2; 3; 4)$ : colinéaire à un vecteur normal. VRAI.
2. $16 > 9$ : le grand axe est vertical ; $c = 16 - 9 = 7$ . Foyers : $(0; 7)$ et $(0; - 7)$ . FAUX.
3. Elle est forte quand $∣ r ∣ \geq 0, 87$ (seuil usuel). FAUX.
4. La partie linéaire est $e^{i \frac{π}{3}} \neq = 1$ : c'est une rotation d'angle $\frac{π}{3}$ . VRAI.
Barème officiel DECO : 1. Vrai · 2. Faux · 3. Faux · 4. Vrai, 0,5 chacune.

Les erreurs à éviter

1. Exiger exactement les coefficients $(2; 3; 4)$ .

2. Placer les foyers sur l'axe des abscisses par habitude.

3. Lire l'inégalité à l'envers.

4. Penser qu'une translation change l'angle.

Le corrigé des 27 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée et les points du barème officiel. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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