Sujet du BAC C 2017 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Justifie que le couple $(b,r)$ est solution du système (S) $\{\begin{array}{l}{e}^b{e}^{-r}+e^b+e^b{e}^r=1\\ e^b{e}^{-r}-e^b+2e^b{e}^r=1\end{array}$.
   b) Résous le système (S).
   c) Déduis de ce qui précède que : $a=\ln \left(\frac{1}{7}\right)$ et $c=\ln \left(\frac{4}{7}\right)$.

2. 2

   Justifie que la variance V(Y) de Y est égale à $\frac{12}{7}$.

3. 3

   On marque sur une droite graduée (D) les points A, B et C d'abscisses respectives 1 ; −1 et 2.
   On désigne par G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, 2) et (C, 4).
   On note (Γ) l'ensemble des points M de la droite (D) tels que : $M{A}^2+2M{B}^2+4M{C}^2=187$ et on pose : $h(M)=\frac{1}{7}\left(M{A}^2+2M{B}^2+4M{C}^2\right)$.
   a) Calcule l'abscisse du point G.
   b) Démontre que : $h(G)=V(Y)$.
   c) Détermine l'ensemble (Γ).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1-2

   1. Fais une figure. (On prendra : OI = 8 cm).
   2. a) Détermine F(C) et G(B).
   b) Déduis de ce qui précède la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations F et G.

2. 3

   On désigne par $F^{-1}$ la réciproque de la transformation F.
   a) Détermine la nature de la transformation $G\circ F^{-1}$.
   b) Détermine $(G\circ F^{-1})(O)$, puis caractérise la transformation $G\circ F^{-1}$.
   c) Détermine $(G\circ F)(I)$ puis déduis-en la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $G\circ F$.

3. 4

   On munit le plan du repère orthonormé (O, I, J) tel que défini précédemment.
   Soit $h$ l'homothétie de centre B et de rapport −2. On pose : $S=h\circ r$.
   a) Écris l'affixe de chacun des points A, B et C.
   b) Détermine l'écriture complexe de $h$ et celle de $r$.
   c) Soit $g$ l'application complexe associée à S.
   Démontre que : $\forall z\in \mathbb{C},g(z)=-2iz-2+\frac{3}{2}i$.
   d) Déduis de ce qui précède la nature et les éléments caractéristiques de S.

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. I.1

   Partie I : Étude de la convergence de la suite $(t_n)$
   Soit $n$ un entier naturel non nul et ψ la fonction définie sur $]-n;+\infty [$ par : $\psi (t)=\ln \left(1+\frac{t}{n}\right)-\frac{t}{n}$.
   On suppose que ψ est dérivable sur $]-n;+\infty [$ et on note ψ' sa fonction dérivée.
   1. a) Justifie que : $\forall t\in ]-n;+\infty [,{\psi }^{\prime }(t)=\frac{-t}{n^2\left(1+\frac{t}{n}\right)}$.
   b) Calcule ψ(0).
   c) Dresse le tableau de variation de la fonction ψ (On ne calculera pas les limites).
   d) Déduis de ce qui précède que : $\forall t\in ]-n;+\infty [,\ln \left(1+\frac{t}{n}\right)\le \frac{t}{n}$.

2. I.2

   a) En utilisant la question 1. d) et en effectuant un changement de variable, démontre que :

   $\forall x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\ln x\le x-1$.

   b) Démontre que : $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\int }_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{k}-1\right)dx=0$.
   c) Déduis des questions 2. a) et 2. b) que : $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\int }_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}\ln \left(\frac{x}{k}\right)dx\le 0$.
   d) Justifie alors que : $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\int }_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}\ln (x)dx\le \ln (k)$.
   e) En utilisant la relation de Chasles, démontre que :

   $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\int }_{\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\ln (x)dx\le \ln (n!)$.

3. I.3-4

   3. a) En utilisant une intégration par parties, démontre que :
   $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n-\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln \left(n+\frac{1}{2}\right)+\ln (n!)\ge \ln (\sqrt{2})$.
   b) Démontre que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },t_n\ge \ln (\sqrt{2})$.
   4. On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;1[$ par : $f(x)=\frac{1}{2x}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
   On admet que : $\forall x\in ]0;1[,f(x)\ge 1$ et $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },t_{n+1}-t_n=1-f\left(\frac{1}{2n+1}\right)$.
   a) Détermine le sens de variation de la suite $(t_n)$.
   b) Déduis des questions précédentes la convergence de la suite $(t_n)$.

4. II.1

   Partie II : Calcul de la limite de la suite $(t_n)$
   On définit la suite $(w_n)$ par :

   $w_0=\frac{\pi }{2}$ et $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },w_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}tdt$.

   1. a) Calcule $w_1$.
   b) Démontre que la suite $(w_n)$ est décroissante et positive.
   On admettra que la suite $(w_n)$ est à termes strictement positifs.
   c) A l'aide d'une intégration par parties, démontre que : $\forall n\in \mathbb{N},w_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}{w}_n$.
   On remarquera que : ${\sin }^{n+2}(t)=\sin (t)\times {\sin }^{n+1}(t)$.
   d) En utilisant les questions 1. b) et 1. c) de la partie II, justifie que :
   $\forall n\in \mathbb{N},\frac{n+1}{n+2}\le \frac{w_{n+1}}{w_n}\le 1$.
   e) Déduis de ce qui précède $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{w_{n+1}}{w_n}$.

5. II.2-3

   2. On pose : $\forall n\in \mathbb{N},y_n=(n+1)w_{n+1}\times w_n$.
   a) Démontre que la suite $(y_n)$ est constante.
   b) Déduis de ce qui précède que : $\forall n\in \mathbb{N},y_n=\frac{\pi }{2}$.
   c) Détermine $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{w}_n^2$.
   (On remarquera que : $n{w}_n^2=\frac{n}{n+1}\times y_n\times \frac{w_n}{w_{n+1}}$).
   d) Déduis de ce qui précède que : $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{n}{w}_n=\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$.
   3. On admet dans toute la suite du problème que, si une suite $(a_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(a_{2n})$ converge aussi vers $l$.
   a) Déduis de la question 2. c) de la partie II la limite de la suite $(n{w}_{2n}^2)$.
   (On remarquera que : $n{w}_{2n}^2=\frac{1}{2}\left(2n{w}_{2n}^2\right)$).
   b) En utilisant la question 1. c) de la partie II, démontre par récurrence que :
   $\forall n\in \mathbb{N},w_{2n}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\times \frac{\pi }{2}$.
   c) Démontre que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },e^{t_n}=n!{\left(\frac{e}{n}\right)}^n\times \frac{1}{\sqrt{n}}$.
   d) En admettant que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },e^{t_{2n}-2t_n}=\frac{\sqrt{2}}{\pi }\sqrt{n{w}_{2n}^2}$, détermine la limite de la suite $(t_n)$.