Sujet du BAC C 2018 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1-2

   1. Fais une figure.
   2. a) Justifie que les droites (Δ) et (Δ') sont parallèles.
   b) Justifie que le triangle OAC est équilatéral.
   c) Justifie que : OB = OF.

2. 3

   Soit $R_1$ la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi }{6}$ et $R_2$ la rotation de centre A et d'angle $-\frac{2\pi }{3}$.
   On pose : $f=R_1\circ R_2$.
   a) Détermine $f(O)$ et $f(A)$.
   b) Démontre que $f$ est une rotation d'angle $-\frac{\pi }{2}$.
   c) Déduis de ce qui précède que : (EF) ⊥ (OA) et EF = OA.
   d) Construis le centre Ω de $f$.

3. 4

   a) Justifie qu'il existe une isométrie g et une seule telle que : $g(O)=A$, $g(A)=C$ et $g(C)=B$.
   b) Justifie que $g$ est un antidéplacement.
   c) Démontre que $g$ est une symétrie glissée.

4. 5

   Dans cette partie, on se propose de caractériser la symétrie glissée $g$.
   Soit R la rotation de centre A et d'angle $-\frac{\pi }{3}$ et S la symétrie orthogonale d'axe (Δ).
   a) Démontre que : $g=R\circ S$.
   b) Détermine l'axe de la symétrie orthogonale $S_1$ telle que : $R=S_{(AB)}\circ S_1$.
   c) Déduis de ce qui précède que : $g=S_{(AB)}\circ t_{\vec{u}}$ où $\vec{u}$ est un vecteur que l'on caractérisera.
   d) En utilisant la relation $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JB}$, détermine les éléments caractéristiques de $g$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1-2

   1. Démontre que $n$ et $2n+1$ sont premiers entre eux.
   2. On pose : $A=n+3$, $B=2n+1$ et $d=PGCD(A;B)$.
   a) Calcule $2A-B$ et déduis-en les valeurs possibles de $d$.
   b) Démontre que A et B sont multiples de 5 si et seulement si $n-2$ est multiple de 5.
   c) Soient $S=n^3+2n^2-3n$ et $P=2n^2-n-1$.
   Justifie que S et P sont divisibles par $n-1$.

2. 3

   On pose : $\delta =PGCD(n(n+3);2n+1)$.
   a) Démontre que $d$ divise δ.
   b) Démontre que δ et $n$ sont premiers entre eux.
   c) Déduis des questions 3-a) et 3-b) que δ est égal à $d$.
   d) Détermine le PGCD(S ; P) en fonction de $n$.

3. 4

   Détermine PGCD(S ; P) pour $n=2016$ puis pour $n=2017$.

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A

   Partie A
   1. a) Calcule la limite de $g_1$ en 0.
   b) Interprète graphiquement ce résultat.
   2. a) Calcule la limite de $g_1$ en $+\infty$.
   b) Justifie que $(C_1)$ admet une branche parabolique de direction celle de (OI) en $+\infty$.
   3. On suppose que $g_1$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   a) Démontre que $g_1$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$.
   On admet que l'équation $t\in ]0;+\infty [$, $g_1(t)=0$ admet une solution unique α telle que : $2,3<\alpha <2,4$.
   b) Justifie que l'équation $t\in ]0;+\infty [$, $g_1(t)=1$ admet une solution unique β telle que : $4,3<\beta <4,4$.
   4. Soit $t$ un nombre réel strictement positif.
   Démontre que :
   a) $g_1(t)<0⟺t\in ]0;\alpha [$ ;
   b) $g_1(t)>0⟺t\in ]\alpha ;+\infty [$.

2. B.1-3

   Partie B
   Dans cette partie, on suppose que $n$ est supérieur ou égal à 2.
   1. a) Calcule $\underset{t\to +\infty }{\lim }{g}_n(t)$.
   b) Démontre que : $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{g_n(t)}{t}=0$ (On pourra poser : $x=t^{\frac{1}{n}}$).
   c) Interprète graphiquement les résultats précédents.
   2. On suppose que $n$ est pair.
   a) Calcule $\underset{t\to 0}{\lim }{g}_n(t)$.
   b) Interprète graphiquement ce résultat.
   3. On suppose que $n$ est impair.
   a) Calcule $\underset{t\to 0}{\lim }{g}_n(t)$.
   b) Soit $t$ un nombre réel strictement positif.
   Justifie que :
   i) $g_n(t)<0⟺t\in ]0;\alpha [$ ;
   ii) $g_n(t)>0⟺t\in ]\alpha ;+\infty [$.
   (On pourra utiliser la question 4 de la partie A).

3. B.4

   On suppose que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $g_n$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et on désigne par $g_n^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Démontre que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 et pour tout nombre réel strictement positif $t$, $g_n^{\prime }(t)=n{g}_1^{\prime }(t)\times g_{(n-1)}(t)$.
   b) Étudie suivant la parité de $n$, le signe de $g_n^{\prime }$ sur $]0;+\infty [$.
   c) Dresse suivant la parité de $n$, le tableau de variation de $g_n$.

4. C.1-3

   Partie C
   Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls et $t$ un nombre réel strictement positif.
   1. a) Exprime $g_{(n+p)}(t)$ en fonction de $g_n(t)$ et $g_p(t)$.
   b) Déduis de ce qui précède que : $g_{(n+p)}(t)-g_n(t)=(g_p(t)-1)\times g_n(t)$.
   Dans toute la suite du problème, on suppose que $n$ est pair.
   2. Justifie que :
   a) $(C_n)$ est au-dessus de $(C_{n+1})$ sur $]0;\beta [$ ;
   b) $(C_n)$ est au-dessous de $(C_{n+1})$ sur $]\beta ;+\infty [$.
   (On pourra utiliser la question 3 de la partie A).
   3. Construis $(C_2)$ et $(C_3)$ dans le même repère (O, I, J).
   On prendra : α = 2,35 et β = 4,35.

5. C.4

   Soit $A_n$ l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par $(C_n)$, $(C_{n+1})$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.
   a) Justifie que, pour tout entier naturel $n$ pair et non nul, $A_n={\int }_1^2(1-g_1(t))\times g_n(t)dt$.
   b) À l'aide d'une intégration par parties, calcule ${\int }_1^2(1-g_1(t))dt$.
   c) Démontre que pour tout entier naturel $n$ pair et non nul, $2g_n(2)\le A_n\le 2g_n(1)$.
   d) Déduis de ce qui précède que pour tout entier naturel $n$ pair et non nul, $2(1-\ln 2{)}^n\le A_n\le 2^{n+1}$.