Sujet du BAC C 2016 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $u_n=\frac{1}{n}\left[\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)+\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)+\dots +\ln \left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$.

2. 2

   a) Démontrer que pour tout entier naturel $k$ tel que $0\le k\le n-1$,

   $\frac{1}{n}\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)\le {\int }_{1+\frac{k}{n}}^{1+\frac{k+1}{n}}\ln (x)dx\le \frac{1}{n}\ln \left(1+\frac{k+1}{n}\right)$.

   (On pourra utiliser un encadrement de $\ln (x)$ sur l'intervalle $\left[1+\frac{k}{n},1+\frac{k+1}{n}\right]$.)
   b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n-\frac{1}{n}\ln (2)\le {\int }_1^2\ln (x)dx\le u_n$.

3. 3

   Sachant que ${\int }_1^2\ln (x)dx=2\ln (2)-1$, déduire de ce qui précède la limite de la suite $(u_n)$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1- On note $(\mathcal{C})$ l'ensemble des points M du plan d'affixe $z$ ($z=x+iy$ avec $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$) tels que :
   $14z\bar{z}+16i(z-\bar{z})=z^2+{\bar{z}}^2$.
   Démontrer que M appartient à $(\mathcal{C})$ si et seulement si :
   $3x^2+4y^2-8y=0$.
   2- a) Justifier que $(\mathcal{C})$ est une ellipse. On note Ω son centre.
   b) Préciser les coordonnées de Ω.
   c) Déterminer une équation de l'axe focal de $(\mathcal{C})$.
   d) On note A, A', F et F' les points d'affixes respectives
   $\frac{-2\sqrt{3}}{3}+i$, $\frac{2\sqrt{3}}{3}+i$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}+i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}+i$.
   Justifier que A et A' sont les sommets de $(\mathcal{C})$ situés sur son axe focal.
   Justifier que F et F' sont les foyers de $(\mathcal{C})$.

2. 3-4

   3- Construire l'ellipse $(\mathcal{C})$.
   4- On considère l'hyperbole (H) de foyers A et A' et de sommets F et F'.
   a) Démontrer qu'une équation cartésienne de (H) dans le repère $(\Omega ,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$ est :

   $3x^2-y^2=1$.

   b) Tracer les asymptotes de (H).
   c) Construire (H).

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A

   Partie A
   Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ ; $\Vert \vec{i}\Vert =\Vert \vec{j}\Vert =2$cm.
   On considère la fonction dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et définie par :

   $f(x)=x-4+\frac{1}{4}\ln |x|$.

   1- a) Calculer la limite de $f$ en 0.
   b) Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
   c) Démontrer que $f$ est strictement croissante sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-\frac{1}{4}\right[$ et $]0;+\infty [$ et strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\frac{1}{4};0\right[$.
   d) Dresser le tableau de variation de $f$.
   2- Démontrer que l'équation $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=0$ admet une unique solution α telle que $3<\alpha <4$.
   3- Démontrer que :
   $\forall x\in ]-\infty ;0[\cup ]0;\alpha [,f(x)<0$ ;
   $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [,f(x)>0$.

2. B.1-2

   Partie B
   On considère la fonction $h$ dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et définie sur $\mathbb{R}$ par :
   $\{\begin{array}{l}\forall x\in {\mathbb{R}}^{\ast },h(x)=x+1-\frac{31}{16}{x}^2-\frac{1}{8}{x}^2\ln |x|\\ h(0)=1\end{array}$
   1- a) Démontrer que $h$ est dérivable en 0.
   b) Démontrer que : $\forall x\in {\mathbb{R}}^{\ast },h^{\prime }(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$.
   c) Démontrer en utilisant A-3) que :
   $\forall x\in ]-\infty ;0[\cup \left]0;\frac{1}{\alpha }\right[,h^{\prime }(x)>0$ ;
   $\forall x\in \left]\frac{1}{\alpha };+\infty \right[,h^{\prime }(x)<0$.
   2- On note (Γ) la courbe représentative de la restriction de $h$ à l'intervalle $\left[-1;\frac{3}{2}\right]$ dans le plan muni du repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
   a) Tracer la tangente à (Γ) en son point d'abscisse 0.
   b) Construire la courbe (Γ). (On prendra α = 3,6.)

3. B.3

   λ est un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0;1[$.
   a) En utilisant une intégration par parties, démontrer que :

   ${\int }_{\lambda }^1{x}^2\ln (x)dx=-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}{\lambda }^3-\frac{1}{3}{\lambda }^3\ln \lambda$.

   b) On note $\mathcal{A}(\lambda )$ l'aire en centimètre carré de la partie du plan limitée par la courbe (Γ), la droite de repère $(O,\vec{i})$ et les droites d'équations $x=\lambda$ et $x=1$.
   Déduire de la question précédente que :

   $\mathcal{A}(\lambda )=\left(\frac{125}{36}-4\lambda -2{\lambda }^2+\frac{91}{36}{\lambda }^3+\frac{1}{6}{\lambda }^3\ln (\lambda )\right)$ cm².

   c) Calculer la limite de $\mathcal{A}(\lambda )$ quand λ tend vers 0 par valeurs supérieures.

4. C

   Partie C
   On se propose de calculer une valeur approchée de α à 0,01 près.
   1- Soit g la fonction dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$ et définie par : $g(x)=4-\frac{1}{4}\ln (x)$.
   a) Étudier les variations de g.
   b) Démontrer que l'image de l'intervalle [3 ; 4] par g est contenue dans l'intervalle [3 ; 4].
   c) Démontrer que α est l'unique solution de l'équation : $x\in ]0;+\infty [$, $g(x)=x$.
   2- On considère la suite $(u_n)$ définie par :
   $\{\begin{array}{l}{u}_0=3\\ \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=g(u_n)\end{array}$
   a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $3\le u_n\le 4$.
   b) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $(u_n-\alpha )$ et $(u_{n+1}-\alpha )$ sont de signes contraires.
   c) Démontrer que, pour tout $x$ élément de [3 ; 4] on a : $|g^{\prime }(x)|\le \frac{1}{12}$.
   En déduire que, pour tout entier naturel $n$,
   $|u_{n+2}-u_{n+1}|\le \frac{1}{12}|u_{n+1}-u_n|$ puis que $|u_{n+1}-u_n|\le \frac{1}{12^n}$.
   d) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|u_n-\alpha |\le \frac{1}{12^n}$.
   En déduire une valeur approchée de α à 0,01 près.