Sujet du BAC A1 2025 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. L'ensemble de tous les résultats d'une expérience aléatoire est appelé une éventualité.

   2. 2. La limite d'une fonction rationnelle en l'infini est la limite en l'infini du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

   3. 3. Pour tout nombre réel $\alpha$, le nombre réel $e^{\alpha }$ est positif.

   4. 4. Une suite arithmétique de raison 2 est une suite décroissante.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-x^3+15x-26)$ est égale à …

      1. A$-\infty$
      2. B$+\infty$
      3. C$0$
      4. D$-26$

   2. 2. Dans $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, le système $\{\begin{array}{l}-2e^x+e^y=-1\\ 3e^x+2e^y=19\end{array}$ a pour ensemble de solutions …

      1. A$\{(\ln 3;\ln 5)\}$
      2. B$\{(\ln 5;\ln 3)\}$
      3. C$\{(3;5)\}$
      4. D$\{(e^3;e^5)\}$

   3. 3. Le troisième terme de la suite géométrique $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $\{\begin{array}{l}{u}_0=1\\ u_{n+1}=5u_n\end{array}$ est …

      1. A10
      2. B5
      3. C125
      4. D25

   4. 4. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln x\le \ln 2$ est …

      1. A$\varnothing$
      2. B$]-\infty ;2]$
      3. C$]0;2]$
      4. D$]0;+\infty [$

Exercice 3 · 5 points

1. 1

   Représente le nuage de points correspondant à la série (X ; Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). Sur le graphique, tu prendras :

   • 1 cm pour 1 ha, en abscisses
   • 1 cm pour 1 million de F CFA, en ordonnées

2. 2

   Justifie que le point moyen G a pour couple de coordonnées (10 ; 11).

3. 3

   a) Justifie que la variance de X est égale à 31,75.
   b) Justifie que la covariance de X et Y est égale à 15,375.

4. 4

   a) Calcule le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre X et Y sachant que la variance de Y est égale à 7,5.
   b) Donne une interprétation du résultat précédent.

5. 5

   Justifie qu'une équation de la droite (D) de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés est : $y=0,5x+6$ (tu prendras l'arrondi d'ordre 1 du coefficient directeur de la droite (D)).

6. 6

   Détermine le bénéfice annuel pour une parcelle d'hévéa d'une superficie de 20 hectares.

Exercice 4 · 6 points

1. 1

   a) Justifie que : $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$.
   b) Interprète graphiquement le résultat précédent.

2. 2

   Sachant que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, on a : $f(x)=x\left(2-\frac{3}{x}-\frac{\ln x}{x}\right)$, détermine $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

3. 3

   On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   a) Justifie que pour tout nombre réel $x$ de $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x-1}{x}$.
   b) Justifie que :

   • pour tout nombre réel $x$ de $\left]0;\frac{1}{2}\right[$, $f^{\prime }(x)<0$ ;
   • pour tout nombre réel $x$ de $\left[\frac{1}{2};+\infty \right[$, $f^{\prime }(x)\ge 0$.

   c) Dresse le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$.

4. 4

   Justifie que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1,7;1,8[$.

5. 5

   On donne le tableau de valeurs ci-dessous.

   $x$	0,1	0,2	0,5	1	2	3	4
   $f(x)$	−0,5	−1	−1,3	−1	0,3	1,9	3,6

   Construis la courbe $(\mathcal{C})$ dans l'intervalle $[0,1;4]$.

6. 6

   a) Justifie que la fonction $g$ définie par : $g(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln x$.
   b) On donne la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=2x-3$ et on admet que la droite $(\mathcal{D})$ est au-dessus de $(\mathcal{C})$ sur $[1;e]$.
   Calcule l'aire $\mathcal{A}$ en cm² de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$, $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.

Exercice 5 · 5 points

1. Situation

   A l'aide d'une production argumentée, réponds à sa préoccupation.