Sujet du BAC A1 2024 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(ax+b)]=0$, alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la représentation graphique de $f$ en $+\infty$.

   2. 2. Si A et B sont deux évènements contraires d'un univers $\Omega$ et $P$ une probabilité sur $\Omega$, alors $P(B)=1-P(A)$.

   3. 3. Si $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, alors $u_n=u_0+q^n$.

   4. 4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(-x^2)=-\infty$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. La dérivée sur $\mathbb{R}\setminus \{4\}$ de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x-4}$ est …

      1. A$x\mapsto \frac{1}{(x-4{)}^2}$
      2. B$x\mapsto \frac{1}{x-4}$
      3. C$x\mapsto \frac{-1}{x-4}$
      4. D$x\mapsto \frac{-1}{(x-4{)}^2}$

   2. 2. La suite arithmétique $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de raison 2 et de premier terme 5 a pour formule explicite …

      1. A$2n+5$
      2. B$5\times 2^n$
      3. C$2n-5$
      4. D$5n+2$

   3. 3. La fonction $x\mapsto e^x$ a pour ensemble de définition …

      1. A$]0;+\infty [$
      2. B$\mathbb{R}$
      3. C$]-\infty ;0]$
      4. D$[1;+\infty [$

   4. 4. Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un univers $\Omega$ et $P$ une probabilité sur $\Omega$. Si $P(A)=0,35$ ; $P(B)=0,4$ et $P(A\cup B)=0,5$, alors $P(A\cap B)$ est égale à …

      1. A0,35
      2. B0,4
      3. C0,25
      4. D0,6

Exercice 3 · 5 points

1. 1

   Justifie que le couple $(1;2)$ est la solution du système (S).

2. 2

   Déduis-en la solution dans $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ du système : $\{\begin{array}{l}3e^x+e^y=5\\ e^x-2e^y=-3\end{array}$.

Exercice 4 · 6 points

1. 1

   a) Justifie que : $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-\infty$.
   b) Donne une interprétation graphique du résultat précédent.

2. 2

   On suppose que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f(x)=x\left(\frac{5}{x}-1+\frac{\ln x}{x}\right)$. Calcule $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

3. 3

   a) On suppose que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
   Justifie que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{x}$.
   b) Justifie que $f$ est croissante sur l'intervalle $]0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty [$.
   c) Dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.

4. 4

   Justifie que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $]6,93;6,94[$.

5. 5

   On admet le tableau de valeurs ci-dessous.

   $x$	0,1	0,5	0,7	1	3	6	7	8
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$	2,6	3,8	3,9	4	3,1	0,8	−0,05	−0,9

   Construis $(\mathcal{C})$ sur l'intervalle $[0,1;8]$.

6. 6

   On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $F(x)=4x-\frac{x^2}{2}+x\ln x$.
   On suppose que $F$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   a) Justifie que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
   b) Calcule l'aire $\mathcal{A}$, en cm², de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$, l'axe des abscisses (OI) et les droites d'équations : $x=1$ et $x=4$.

Exercice 5 · 5 points

1. Situation

   A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, donne ton avis sur l'affirmation du président.