Sujet du BAC A1 2011 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Vérifier que le couple $(1;3)$ est la solution du système

   $\{\begin{array}{l}3x+5y=18\\ x+y=4\end{array}$

2. 2

   Résoudre dans $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ le système

   $\{\begin{array}{l}3e^x+5e^y=18\\ e^x+e^y=4\end{array}$

3. 3

   Résoudre dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\times {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ le système

   $\{\begin{array}{l}3\ln x+5\ln y=18\\ \ln (xy)=4\end{array}$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Vérifier qu'il y a 100 tickets gagnants.

2. 2

   Vérifier que le nombre de tirages possibles est 4 455 100.

3. 3

   Calculer la probabilité des événements suivants :

   A " avoir exactement un ticket gagnant".
   B " avoir exactement trois tickets gagnants".
   C " n'avoir aucun ticket gagnant".
   D " avoir au moins un ticket gagnant".

4. 4

   Un élève achète trois tickets. Le ticket coûte 200 francs et un ticket gagnant rapporte 500 francs. Soit X la variable aléatoire qui à chaque achat de trois tickets, associe le gain ou la perte réalisée.
   a) Vérifier que les valeurs prises par X sont : – 600 ; – 100 ; 400 et 900.
   b) Déterminer la loi de probabilité de X.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. 1

   a) Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)$.
   b) Donner une interprétation graphique de ce résultat.
   c) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. 2

   a) Résoudre dans $]0;+\infty [$, l'équation $f(x)=x$.
   b) En déduire les coordonnées du point d'intersection de $(\mathcal{C})$ et de la droite (Δ) d'équation $y=x$.
   c) Etudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite (Δ).

3. 3

   a) Justifier que pour tout nombre réel $x$ élément de $]0;+\infty [$,
   $f^{\prime }(x)=\frac{1+x}{x}$.
   b) Justifier que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$.

4. 4

   a) Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1.
   b) Construire (T), la droite (Δ) et $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère (O, I, J).

5. 5

   Soit $h$ la fonction dérivable sur $]0;+\infty [$ et définie par :
   $h(x)=x\ln x-x$.
   a) Justifier que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $h^{\prime }(x)=\ln x$.
   b) En déduire une primitive F de $f$ sur $]0;+\infty [$.
   c) Hachurer puis calculer en cm² l'aire de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$, (OI), les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.