Sujet du BAC A1 2010 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2-3x-4=0$.

2. 2

   On donne $P(x)=2x^3-7x^2-5x+4$.
   a) Vérifier que $P(x)=(2x-1)(x^2-3x-4)$.
   b) Vérifier que les solutions de l'équation $P(x)=0$ sont : $-1$, $\frac{1}{2}$ et 4.
   c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
   $2(\ln x{)}^3-7(\ln x{)}^2-5\ln x+4=0$.

3. 3

   a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)<0$.
   b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante :
   $2e^{3x}-7e^{2x}-5e^x+4<0$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   a) Calculer $U_1$.
   b) Vérifier que $U_2=3$.

2. 2

   On donne la suite $(V_n)$ définie par $V_n=U_n-1$ pour tout entier naturel $n$.
   a) Calculer $V_0$, $V_1$ et $V_2$.
   b) Démontrer que $V_n$ est une suite géométrique de raison 2.
   c) Pour tout entier naturel $n$, justifier que $V_n=2^{n-1}$.

3. 3

   Justifier que pour tout entier naturel $n$, $U_n=1+2^{n-1}$.

4. 4

   Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour que $U_n>1000000$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A

   Partie A
   On donne dans $\mathbb{R}$ le polynôme $Q(x)=-x^2+2x$.
   1. Calculer $Q(0)$ et $Q(2)$.
   2. Justifier que :

   – pour tout nombre réel $x$ élément de $]-\infty ;0[\cup ]2;+\infty [$, $Q(x)<0$ ;
   – pour tout nombre réel $x$ élément de $]0;2[$, $Q(x)>0$.

2. B.1

   Partie B
   On donne la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-x^2+5x-5}{x-1}$.
   $(\mathcal{C})$ désigne sa représentation graphique dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J).
   L'unité graphique est le centimètre.
   Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

3. B.2

   a) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)$.
   c) Justifier que la droite (Δ) d'équation $x=1$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$.

4. B.3

   a) Justifier que pour tout nombre réel $x$ élément de $\mathbb{R}-\{1\}$, $f(x)=-x+4-\frac{1}{x-1}$.
   b) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=-x+4$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   c) Vérifier que $(\mathcal{C})$ est au-dessus de (D) sur $]-\infty ;1[$ et en-dessous de (D) sur $]1;+\infty [$.

5. B.4

   a) Démontrer que pour tout nombre $x$ élément de $\mathbb{R}-\{1\}$, $f^{\prime }(x)=\frac{Q(x)}{(x-1{)}^2}$.
   b) Déduire de la partie A, le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$.

6. B.5

   Dresser le tableau de variation de $f$ sur $D_f$.

7. B.6

   Construire (Δ), (D) et $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère (O, I, J).

8. B.7

   Démontrer que le point de coordonnées $(1;3)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C})$.

9. C

   Partie C
   On considère les fonctions H et $h$ dérivables sur $]1;+\infty [$ et définies par :

   $H(x)=-2+\ln (x-1)$ et $h(x)=\frac{1}{x-1}$.

   1. Vérifier que H est une primitive de $h$ sur $]1;+\infty [$.
   2. Calculer l'intégrale $I={\int }_{\frac{3}{2}}^2\left(-x+4-\frac{1}{x-1}\right)dx$.
   3. En déduire l'aire $\mathcal{A}$ en cm² de la partie du plan limitée par (OI) ; $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x=\frac{3}{2}$ et $x=2$.