Sujet du BAC A1 2012 de mathématiques, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC A1 2012 en Côte d’Ivoire, en entier (3 exercices, 3 heures, coefficient 3). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé.

Durée : 3 heures
Coefficient 3
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (6 points): 5 questions sur la fonction logarithme et les équations.
Exercice 2 (5 points): 3 questions sur les suites et les études de fonctions.
Exercice 3 (9 points): 6 questions sur les fonctions et les équations.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 9 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 3 heures : comptez environ 50 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Quand le sujet donne un résultat (« montrer que… »), servez-vous-en pour la suite, même si vous n’avez pas réussi à le démontrer.
Lisez tout le sujet avant de commencer et traitez d’abord l’exercice où vous êtes le plus sûr de vous.

L’énoncé complet

BAC A1 2012 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC A1 2012, Côte d’Ivoire.

Durée : 3 heures · Coefficient : 3 · 3 exercices · 20 points. Toute calculatrice scientifique est autorisée. Chaque candidat recevra une (01) feuille de papier millimétré.

Exercice 1 · 6 points

1
Vérifier que pour tout nombre réel $x$ , on a : $(x + 1) (x^{2} - 6 x + 8) = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ .
2
a) Résoudre dans $R$ l'équation : $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .
b) Déduire de tout ce qui précède la résolution dans $R$ de l'équation :

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .
3
Résoudre dans $R$ l'équation : $e^{3 x} - 5 e^{2 x} + 2 e^{x} + 8 = 0$ .
4
Résoudre dans $R$ l'équation : $ln (x^{3} - 4 x^{2}) = ln (x^{2} - 2 x - 8)$ .
5
Résoudre dans $R$ l'inéquation : $(ln x)^{3} - 5 (ln x)^{2} + 2 ln x + 8 > 0$ .

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

Une coopérative de vendeuses de vivriers veut acheter un camion pour transporter ses produits.
Un vendeur de véhicules lui propose un camion aux conditions suivantes :

○ payer en 36 mensualités et ce, à partir du premier mois suivant celui de la livraison ;
○ payer 1 600 000 francs CFA comme première mensualité ;
○ payer 40 000 francs CFA de moins que la mensualité du mois précédent et ceci pendant les 35 autres mois.

On désigne par $T_{n}$ la mensualité du $n^{i e ˋ me}$ mois ( $1 \leq n \leq 36$ ).

1
a) Calculer la deuxième mensualité.
b) Justifier que la suite $(T_{n})$ est une suite arithmétique.
Préciser le premier terme et la raison.
c) Quel est le sens de variation de la suite $(T_{n})$ ? Justifier la réponse.
2
a) Démontrer que $T_{n} = 1640000 - 40000 n$ .
b) Calculer $T_{6}$ et $T_{36}$ .
3
Calculer le montant total que la coopérative doit débourser pour acquérir le camion.

Exercice 3 · 9 points

On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur les intervalles $[0; 2 [$ et $] 2; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{2 x ^{2} - 5 x + 1}{x - 2}$ .

On désigne par (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 2 cm.

1
Déterminer $x \to + \infty lim f (x)$ .
2
a) Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0; 2 [\cup] 2; + \infty [$ , on a :

$f (x) = 2 x - 1 - \frac{1}{x - 2}$

b) Déterminer $x \to 2 x < 2 lim f (x)$ et $x \to 2 x > 2 lim f (x)$ puis interpréter graphiquement chaque résultat.
3
On désigne par (D) la droite d'équation : $y = 2 x - 1$ .
a) Justifier que (D) est une asymptote à (C) en $+ \infty$ .
b) Etudier la position relative de (C) et (D).
4
a) Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0; 2 [\cup] 2; + \infty [$ , $f^{'} (x) = 2 + \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}}$ .
b) Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $[0; 2 [$ et sur $] 2; + \infty [$ .
c) Dresser le tableau de variation de $f$ .
5
a) Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant :

$x$ 0 0,5 1 1,5 2,5 3 4
$f (x)$

(On donnera l'arrondi d'ordre 1 de chaque résultat)
b) Tracer (C) et ses asymptotes.
6
a) Hachurer la partie du plan délimitée par :

○ la courbe (C) ;
○ la droite (D) ;
○ la droite d'équation $x = 3$ ;
○ la droite d'équation $x = 4$ .

b) Calculer en cm² l'aire de la partie hachurée.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

$x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + x^{2} - 6 x + 8 = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$ .

La démarche

Termes semblables.

Les erreurs à éviter

Oublier un produit.

Le corrigé des 13 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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