Sujet du BEPC 2013 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 3 points

1. 1

   Justifie que A et B sont deux nombres inverses l'un de l'autre.

2. 2

   Déduis-en l'encadrement de A par deux nombres décimaux consécutifs d'ordre 1.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 3 points

1. 1.a

   Justifie que $f$ est décroissante.

2. 1.b

   Déduis-en un rangement des nombres réels suivants : $f\left(\frac{-\pi }{5}\right)$ ; $f(\pi )$ ; $f\left(\frac{\pi }{7}\right)$.

3. 2

   Écris $f(x)$ sous la forme $ax+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Exercice 3 · 3 points

1. 1 et 2.a

   Construis le segment [AB].
   2- a) place le point M du segment [AB] tel que $AM=\frac{5}{7}AB$.

2. 2.b

   Donne ton programme de construction.

Exercice 4 · 3 points

L'unité de longueur est le centimètre.
La figure ci-contre qui n'est pas en vraies grandeurs représente un cône de révolution de sommet S, de hauteur [SH] et de base le cercle de diamètre AB.
Un plan parallèle au plan de la base coupe [SA] en A', [SH] en H' et [SB] en B'.
On donne $SH=12$, $S{H}^{\prime }=4$, $S{B}^{\prime }=5$.
L'aire latérale du petit cône est $15\pi$ cm².

1. 1

   Calcule SB.

2. 2.a

   Justifie que le coefficient de réduction est $\frac{1}{3}$.

3. 2.b

   Calcule l'aire latérale ${\mathcal{A}}_T$ du tronc de cône.

Exercice 5 · Problème · 8 points

1. 1

   Justifie que le point F a pour coordonnées $(4;6)$.

2. 2

   Démontre que le point K est le centre du cercle $(\mathcal{C})$.

3. 3.a

   Justifie que $BF=10$.

4. 3.b

   Déduis-en que le triangle ABF est un triangle rectangle en A.

5. 4.a

   Justifie que $\cos \widehat{ABF}\approx 0,894$.

6. 4.b

   Déduis-en un encadrement de $\text{mes}\widehat{ABF}$.

   mesures (en degré)	cos	sin	tan
   25°	0,906	0,423	0,466
   26°	0,899	0,438	0,488
   27°	0,891	0,454	0,510