Sujet du BAC G2 2011 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-3

   Calculer le nombre de possibilités de taper 3 touches.
   2- Calculer le nombre de possibilités de taper 3 chiffres distincts.
   3- Calculer le nombre de possibilités de taper 3 touches distinctes.

2. 4-5

   a) Donner deux exemples d'opérations de multiplication dont le résultat est 6.
   b) Calculer le nombre de possibilités de taper une opération de multiplication.
   5- Calculer le nombre de possibilités de taper une opération de multiplication dont le résultat est zéro.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 6 points

1. 1-3

   a) représenter graphiquement le nuage de points dans le plan muni du repère orthogonal (O, I, J) :
   Échelle : abscisse : 2 cm ↔ 1 année ; ordonnée : 1 cm ↔ 1 centaine de GWh
   b) Peut-on faire un ajustement linéaire ? Justifier.
   2- Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points et placer G dans ce nuage de points.
   3- a) Calculer la variance V(X) de X.
   b) Calculer la variance V(Y) de Y.
   c) Calculer la covariance cov(X, Y) de X et Y.

2. 4-5

   a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r entre x et y.
   b) Écrire une équation de la droite de régression de y en x.
   5- On admettra qu'une équation de la droite de régression de y en x est $y=3,51x+30,2$.
   a) Estimer la consommation en électricité de la ville d'Abidjan en 2010.
   b) On estime que la production d'un GWh engendre un coût d'entretien de 200 000 F CFA. Calculer le coût d'entretien correspondant à la consommation de l'année 2010 pour cette ville.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A

   Partie A
   Soit g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=e^x(1-x)+1$
   1- Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$
   2- Calculer la dérivée g' de g.
   3- Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
   4- a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1,27 ; 1,28].
   b) En déduire que : $\forall x\in ]-\infty ;\alpha [$, $g(x)>0$ et $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [$, $g(x)<0$

2. B.1-2

   Partie B
   Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x}{e^x+1}+2$
   Soit $(C_f)$ la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (O, I, J). Unités graphiques : 1 cm sur (OI) et 2 cm sur (OJ).
   1- Déterminer la limite de f en $+\infty$ et interpréter graphiquement ce résultat.
   2- a) Déterminer la limite de f en $-\infty$.
   b) Démontrer que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$.
   c) Étudier la position relative de $(C_f)$ par rapport à $(\Delta )$.

3. B.3-4

   a) Calculer la dérivée f' de f et montrer que $\forall x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{(e^x+1{)}^2}$
   b) En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ et donner le sens de variation de f.
   c) Dresser le tableau de variation de f.
   d) démontrer que $f(\alpha )=\alpha +1$.
   4- Tracer la courbe $(C_f)$ et ses asymptotes dans le repère (O, I, J)