Sujet du BAC G2 2010 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   On veut élire dans ce club un bureau comprenant un président, un vice-président, une secrétaire, un trésorier et un commissaire aux comptes.
   a) De combien de façons peut-on former ce bureau ?
   b) De combien de façons peut-on former ce bureau si le poste de trésorier doit revenir à une fille ?
   c) L'élève Kouakou du club se refuse d'être dans un même bureau que des membres militants d'un syndicat. De combien de façons peut-on alors former ce bureau ?

2. 2

   Pour la formation de ses membres, ce club décide d'envoyer 5 membres en stage.
   a) De combien de façons peut-on choisir ces 5 membres ?
   b) De combien de façons peut-on choisir ces 5 membres, si au moins une fille doit être dans le groupe ?
   c) On décide d'envoyer en stage 3 garçons et 2 filles ; combien y a-t-il alors de choix possibles ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2b

   Construire le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère orthogonal.
   Échelle : abscisse 1 cm ↔ 1 million de FCFA ; ordonnée 1 cm ↔ 10 tonnes
   2- a) Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer G dans ce nuage de points.
   b) Calculer la variance V(x) de $x$, la variance V(y) de $y$ et la covariance cov(X, Y) de $x$ et $y$

2. 2c-3

   c) Déterminer une équation de la droite (D) de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés
   d) Tracer la droite (D)
   3- a) Selon l'ajustement précédent, à combien peut-on estimer la production annuelle pour une subvention de 15 millions de francs CFA ?
   b) L'estimation précédente est-elle bonne ? Justifier.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A

   Partie A
   Soit la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=3-x-\ln x$
   1- Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$
   2- Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.
   3- Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0;+\infty [$
   4- Justifier que $\alpha \in [2;3]$
   5- Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.

2. B

   Partie B
   Soit la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)(2-\ln x)$
   1- Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$
   2- a) Calculer la dérivée g' de g et montrer que $g^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{x^2}$
   b) En déduire les variations de g puis dresser le tableau de variations de g
   3- Démontrer que $g(\alpha )=\frac{(\alpha -1{)}^2}{\alpha }$
   4- Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$

3. C

   Partie C
   1- Démontrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $g(x)=2-\ln x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x}\ln x$
   2- Soit la fonction h définie sur $]0;+\infty [$ par : $h(x)=x-x\ln x$
   a) Calculer h' et en déduire une primitive de la fonction $x\mapsto -\ln x$ sur $]0;+\infty [$
   b) Déterminer donc une primitive de g sur $]0;+\infty [$
   3- Calculer $I={\int }_1^{e}g(x)dx$