Sujet du BAC G2 2019 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Soit P la fonction définie sur IR, par : $P(x)=x^2+9x-4140$.
   a) Résoudre dans IR l'équation (E) ; $P(x)=0$.
   b) Résoudre dans IR l'inéquation (I) ; $P(x)\le 0$.

2. 2

   a) Déterminer $U_4$ et $U_5$.
   b) Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$, puis préciser la nature de la suite $(U_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.
   c) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.

3. 3

   a) Démontrer que : $S_n=100n^2+900n$
   b) En utilisant la question 1.b), déterminer la profondeur maximale du forage que l'on peut réaliser.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Construire le nuage de points $M_i(x_i;y_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   Unités graphiques : 1 cm pour 100 F CFA sur l'axe des abscisses ;
   1 cm pour 10 milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.
   b) Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le nuage de points.

2. 2

   a) Calculer la variance V(X) de $x$ et la variance V(Y) de $y$.
   b) Calculer la covariance Cov(X , Y) de la série double $(x,y)$.
   c) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(x,y)$, puis interpréter le résultat.

3. 3

   a) Démontrer qu'une équation de la droite (D) de régression de $y$ en $x$ par méthode des moindres carrés est $y=-15x+189$. (Les coefficients seront arrondis à l'unité)
   b) Tracer la droite (D) dans le nuage de points.
   c) Déterminer une estimation du nombre d'acheteurs du produit si le prix unitaire était fixé à 1 200 F CFA.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1-2

   Partie A
   Soit g la fonction définie et dérivable sur IR telle que : $\forall x\in$ IR, $g(x)=e^x+x+1$
   1. a) Calculer la limite de g en $-\infty$.
   b) Calculer la limite de g en $+\infty$.
   2. a) Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$, g' étant la dérivée de g.
   b) En déduire les variations de g sur IR.

2. A.3-4

   3. a) Dresser le tableau de variation de g.
   b) En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans IR.
   c) Justifier que : $-1,28<\alpha <-1,27$.
   4. Démontrer que : $\{\begin{array}{l}\forall x\in ]-\infty ;\alpha [,g(x)<0;\\ \forall x\in ]\alpha ;+\infty [,g(x)>0.\end{array}$

3. B.1-2

   Partie B
   1. Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
   2. a) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
   b) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe (C) en $+\infty$.
   c) Étudier la position relative de (C) par rapport à (D).

4. B.3-4

   3. a) Démontrer que : $\forall x\in$ IR, $f^{\prime }(x)=\frac{e^{x}g(x)}{(e^x+1{)}^2}$, $f^{\prime }$ étant la dérivée de $f$.
   b) Déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$.
   c) En déduire les variations de $f$.
   4. a) Démontrer que $f(\alpha )=\alpha +1$.
   b) Dresser le tableau de variation de $f$.

5. B.5

   a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisses 0.
   b) Construire dans le repère (O, I, J) les droites (T), (D) et la courbe (C).