Sujet du BAC E 2016 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   Construire les triangles MNP et ABC sachant que : $m=-1-3i$ et $n=2$.

2. 2

   On considère la transformation f du plan dans lui-même,
   qui à chaque point M d'affixe $z=x+iy$ associe le point M' d'affixe $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ telle que :
   $z^{\prime }=-\frac{1}{2}(1+i)\left[z-(m+n+p)\right]$.
   Quelle est la nature de f ? Préciser ses éléments caractéristiques.
   (La version disponible du sujet imprime « [2 − (m + n + p)] » : la question 4 impose « z ».)

3. 3

   Soit $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les affixes respectives des points A, B et C.
   Démontrer que :
   a) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$. En déduire que : $\alpha =n+p-m$.
   b) $\beta =m-n+p$.
   c) $\gamma =n-p+m$.

4. 4-5

   4- On pose : $f(A)=A^{\prime }$, $f(B)=B^{\prime }$ et $f(C)=C^{\prime }$.
   On désigne par ${\alpha }^{\prime }$, ${\beta }^{\prime }$ et ${\gamma }^{\prime }$ les affixes respectives des points A', B' et C'.

   a) Démontrer que :

   ${\alpha }^{\prime }=(1+i)m$ ;

   ${\beta }^{\prime }=(1+i)n$ ;

   ${\gamma }^{\prime }=(1+i)p$.

   b) En déduire que $\overrightarrow{M{A}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{OM}$ sont orthogonaux et que le point A' appartient à la droite (BC).
   c) Calculer $\frac{{\beta }^{\prime }-n}{n}$ et $\frac{{\gamma }^{\prime }-p}{p}$. En déduire que les points B' et C' appartiennent respectivement aux droites (AC) et (AB).
   5- Démontrer que les triangles A'B'C' et MNP sont semblables.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1- Démontrer que : $\forall x\in ]0;+\infty [$, $f(x)\ge \sqrt{7}$.
   2- a) Démontrer par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_n>0$.
   b) Démontrer par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge \sqrt{7}$.

2. 3-4

   3- a) Démontrer que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n\le 0$.
   b) En déduire la convergence de la suite $(u_n)$.
   4- Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
   a) Démontrer que : $\ell =\frac{1}{2}\left(\ell +\frac{7}{\ell }\right)$.
   b) Déterminer la valeur de $\ell$.

3. 5-6

   5- Démontrer que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\frac{(u_n-\sqrt{7}{)}^2}{u_n}$.
   6- On définit la suite $(d_n)$ par : $\{\begin{array}{l}{d}_0=1\\ \forall n\in \mathbb{N},d_{n+1}=\frac{1}{2}{d}_n^2\end{array}$
   Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, $u_n-\sqrt{7}\le d_n$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A

   Partie A
   Soit n un entier naturel non nul et $g_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $g_n(x)=nx+(n+1)\ln x$.
   1- Déterminer les limites de $g_n$ en 0 et en $+\infty$.
   2- a) Calculer $g_n^{\prime }(x)$ pour $x$ élément de l'intervalle $]0;+\infty [$, où $g_n^{\prime }$ est la dérivée de $g_n$.
   b) En déduire le sens de variation de $g_n$.
   3- Démontrer que l'équation $x\in ]0;+\infty [$, $g_n(x)=0$ admet une unique solution ${\alpha }_n$ dans $]0;1[$.
   4- Démontrer que : $g_n(x)\ge 0$ si et seulement si $x\in [{\alpha }_n;+\infty [$.

2. B

   Partie B
   On considère la suite $({\alpha }_n{)}_{n\ge 1}$ définie dans la partie A et h la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $h(x)=x+\ln x$.
   1- Démontrer que l'équation $x\in ]0;+\infty [$, $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ telle que : $\alpha \in ]0;+\infty [$.
   2- Démontrer que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\forall x\in ]0;+\infty [$, $g_{n+1}(x)=g_n(x)+x+\ln x$.
   3- Démontrer que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $g_{n+1}({\alpha }_{n+1})-g_{n+1}({\alpha }_n)=-\frac{{\alpha }_n}{n+1}$.
   4- a) Démontrer que la suite $({\alpha }_n{)}_{n\ge 1}$ est décroissante.
   b) En déduire la convergence de la suite $({\alpha }_n{)}_{n\ge 1}$.
   5- Démontrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n=\alpha$.

3. C

   Partie C
   Soit n un entier naturel non nul différent de 1, $f_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f_n(x)={\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^n\left(1+\frac{\ln x}{x}\right)$ et $({\mathcal{C}}_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J). (Unités graphiques : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée).
   1- Selon la parité de n, déterminer les limites de $f_n$ en 0 et en $+\infty$, puis interpréter graphiquement les résultats.
   2- a) Démontrer que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\setminus \{1\}$, $\forall x\in ]0;+\infty [$, $f_n^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^3}{\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^{n-1}{g}_n(x)$.
   b) En déduire, selon la parité de n, le sens de variation de $f_n$ puis dresser son tableau de variation.
   3- Démontrer que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\setminus \{1\}$, $f_n({\alpha }_n)=(-1{)}^n\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}$.
   4- Construire $({\mathcal{C}}_2)$. On prendra : ${\alpha }_2\approx 0,6$.