Sujet du BAC E 2017 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1
   a) Soit

   A l'évènement « l'un des jours de congé est le lundi » et

   B l'évènement « l'un des jours de congé est le samedi ».

   Démontrer que : $P(A)=P(B)=\frac{1}{3}$.
   b) On définit les évènements C et D suivants :

   C « parmi les jours de congés figurent le lundi, ou le samedi, ou les deux jours ».
   D « les jours de congés sont trois jours consécutifs ».

   Calculer P(C) et P(D).
   c) Yao aimerait bien avoir les mêmes jours de congé que Mariam. Quelle est la probabilité que son souhait se réalise ?

2. 2

   L'entreprise compte douze employés. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d'employés ayant tiré le samedi comme jour de congé.
   a) Quelle est la loi de probabilité de X ?
   b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.
   c) Calculer la probabilité pour que 5 employés tirent le samedi comme jour de congé.
   d) Calculer la probabilité pour qu'au moins deux (2) employés tirent le samedi comme jour de congé.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1. Placer ces points sur une figure.
   2. On note G l'isobarycentre des points A, B, C, D et E.
   a) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{OG}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{OB}$.
   b) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{OG}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{OD}$ et $\overrightarrow{OJ}$.
   c) En déduire que les droites (OB) et (DJ) se coupent en G, puis placer G.

2. 3

   À tout point M du plan, on fait correspondre par une transformation f, le point M'
   tel que : $4\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}$.
   a) Démontrer que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
   b) Déterminer les images par f des points B et D.

3. 4

   Soit R la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi }{3}$ et S la transformation telle que : $S=R\circ f$.
   a) Caractériser la transformation S.
   b) Construire le point H tel que : $H=S(G)$.
   c) Soit le point Ω, invariant par S.
   Démontrer que les points Ω, O, G et H sont cocycliques ainsi que les points Ω, O, B et D.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A

   Partie A
   On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime \prime }-2y=4x^2{e}^{x^2}$.
   1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle (E') : $y^{\prime \prime }-2y=0$.
   2. a) Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction $h_1$ définie par $h_1(x)=(ax+b)e^{x^2}$ soit solution de l'équation différentielle (E).
   b) Soit $h_2$ une fonction. Démontrer que $h_2$ est solution de (E) si et seulement si $h_2-h_1$ est solution de (E').
   3. Déduire de ce qui précède la résolution sur $\mathbb{R}$ de l'équation (E).

2. B.1-4

   Partie B
   Soit f la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^{x|x|}$.
   On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
   Unité graphique : 2 cm.
   1. a) Calculer la limite de f en $-\infty$.
   b) Interpréter graphiquement ce résultat.
   2. a) Calculer : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
   b) En déduire une interprétation graphique.
   3. a) Calculer : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-1}{x}$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-1}{x}$.
   b) Donner une interprétation graphique de ces résultats.
   c) Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
   4. Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. B.5-6

   5. Soit g la fonction définie sur $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$ par : $g(x)=e^{-x^2}-(x\sqrt{2}+2)e^{-\frac{1}{2}}$.
   a) Justifier que : $\forall x\in \left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$, $g^{\prime \prime }(x)=2(2x^2-1)e^{-x^2}$.
   b) Étudier les variations de g'.
   c) Démontrer que : $\forall x\in \left]-\infty ;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right[\cup \left]-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2}\right]$, $g^{\prime }(x)<0$.
   d) En déduire le sens de variation de g sur $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]$.
   e) Démontrer que : $\forall x\in \left]-\infty ;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right[$, $g(x)>0$ et $\forall x\in \left]-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2}\right]$, $g(x)<0$.
   En déduire les positions de $(\mathcal{C})$ relativement à (T).
   (La version disponible du sujet annonce $g(x)<0$ puis $g(x)>0$ : les signes sont inversés ; ils sont rétablis ci-dessus, voir le corrigé.)
   6. Tracer (T) puis $(\mathcal{C})$.