Sujet du BAC D 2025 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle K, $r$ est un élément de ${\mathbb{Q}}^{\ast }\setminus \{1\}$.
         Une primitive sur K de la fonction $\frac{u^{\prime }}{u^r}$ est la fonction $\frac{-1}{(r-1)u^{r-1}}$.

   2. 2. Quel que soit le nombre réel $a$ strictement positif, $\ln \left(\sqrt[3]{a}\right)=3\ln a$.

   3. 3. Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$.
         La fonction F définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=P(X>x)$ est la fonction de répartition de $X$.

   4. 4. Pour tous $p$ élément de ${\mathbb{Z}}^{\ast }$, $q$ élément de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ et $x$ un élément de l'intervalle $]0;+\infty [$, $x^{\frac{p}{q}}={\left(x^{\frac{1}{q}}\right)}^p$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. $z$ est un nombre complexe de module 4. Le conjugué de $z$ est égal à…

      1. A$\frac{1}{4z}$
      2. B$\frac{4}{z}$
      3. C$\frac{1}{16z}$
      4. D$\frac{16}{z}$

   2. 2. La forme trigonométrique du nombre complexe $-\sqrt{3}+i$ est…

      1. A$2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$
      2. B$2\left(\cos \frac{-\pi }{6}+i\sin \frac{-\pi }{6}\right)$
      3. C$2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$
      4. D$2\left(\cos \frac{-5\pi }{6}+i\sin \frac{-5\pi }{6}\right)$

   3. 3. L'intégrale ${\int }_1^e(\ln x+1)dx$ est égale à…

      1. A$2e$
      2. B$e+1$
      3. C$e$
      4. D$e-1$

   4. 4. L'image de 4 par le prolongement par continuité $g$ de la fonction $f$ définie sur $[0;4[$ par : $f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{x^2-16}$ est…

      1. A$0$
      2. B$\frac{1}{8}$
      3. C$\frac{1}{16}$
      4. D$\frac{1}{32}$

Exercice 3 · 3 points

1. 1

   Calcule $P(i)$.

2. 2

   Vérifie que : $\forall z\in \mathbb{C},P(z)=(z-i)\left[z^2-(3+i)z+2+i\right]$.

3. 3

   Vérifie que $1+i$ est une racine carrée de $2i$.

4. 4

   Résous dans $\mathbb{C}$, l'équation : $P(z)=0$.

Exercice 4 · 3 points

1. 1.a

   Démontre que la suite $(u_n)$ est croissante.

2. 1.b

   Déduis-en que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. 2.a

   Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\frac{2x+1}{x+2}$.
   Démontre que : $\forall x\in [0;1],|f^{\prime }(x)|\le \frac{3}{4}$.

4. 2.b

   En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontre que :
   $\forall n\in \mathbb{N},|u_{n+1}-1|\le \frac{3}{4}|u_n-1|$.

5. 2.c

   Démontre par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N},|u_n-1|\le {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$.

6. 2.d

   Déduis-en la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 5 · 5 points

1. 1.a

   Calcule la limite de $f$ en 0.

2. 1.b

   Calcule la limite de $f$ en $+\infty$.

3. 2.a

   On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   Démontre que : $\forall x\in \left]0;+\infty \right[,f^{\prime }(x)=\frac{(2e^x-1)(e^x-2)}{(e^x-1{)}^2}$.

4. 2.b

   Déduis-en que $f$ est strictement décroissante sur $]0;\ln 2[$ et strictement croissante sur $]\ln 2;+\infty [$.

5. 2.c

   Dresse le tableau de variation de $f$.

6. 3.a

   Justifie que $(\mathcal{C})$ est au-dessus de (D) sur $]0;+\infty [$.

7. 3.b

   Vérifie que : $\forall x\in \left]0;+\infty \right[,f(x)=2x-2+\frac{e^x}{e^x-1}$.

8. 3.c

   $k$ désigne un nombre réel supérieur ou égal à 2.
   On désigne par $\mathcal{A}(k)$ l'aire en cm² du domaine limité par $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x=\ln 2$ et $x=\ln k$.
   Démontre que : $\mathcal{A}(k)=4\left[\ln 2+\ln \left(\frac{k-1}{k}\right)\right]$ cm².

9. 3.d

   Calcule : $\underset{k\to +\infty }{\lim }\mathcal{A}(k)$.

Exercice 6 · 5 points

1. Situation

   A l'aide d'une argumentation basée sur tes connaissances mathématiques, apporte une réponse à la préoccupation des organisateurs de cette loterie.