Sujet du BAC D 2024 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $K$ et $F$ une primitive de $f$ sur $K$.
         Les fonctions $x\mapsto F(x)+c$, $c\in \mathbb{R}$ sont les primitives de $f$ sur $K$.
   2. 2. Le coefficient de corrélation linéaire $r$ d'une série statistique double (X, Y) est tel que :
         $-1<r<-0,87$. La corrélation linéaire entre les variables X et Y est forte.

   3. 3. La fonction dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto a^x$, $a\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\setminus \{1\}$, est la fonction : $x\mapsto a^x$.

   4. 4. Soit $f$ une fonction définie sur $]0;+\infty [$ et $\ell$ un nombre réel tel que :
         $\forall x\in ]0;+\infty [,|f(x)-\ell |<\frac{1}{x}$. On a : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. $z$ est un nombre complexe tel que $z=a+bi$, $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R}$. Le module de $z$ est égal à…

      1. A$a^2+b^2$
      2. B$\sqrt{a^2+b^2}$
      3. C$a^2-b^2$
      4. D$|a+b|$

   2. 2. Une primitive sur $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ de la fonction $x\mapsto \frac{\cos x}{\sin x}$ est la fonction F définie par :…

      1. A$F(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
      2. B$F(x)=-\ln (\sin x)$
      3. C$F(x)=\ln (\sin x)$
      4. D$F(x)=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{(\sin x{)}^2}$

   3. 3. Soit $\Omega$ un point du plan. L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $-3$ est une similitude directe de centre $\Omega$, de …

      1. Arapport $-3$ et d'angle 0
      2. Brapport $-3$ et d'angle $\pi$
      3. Crapport 3 et d'angle $\pi$
      4. Drapport 3 et d'angle 0
   4. 4. Si A, B et C sont des points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$ telles que :
         $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=-i\sqrt{3}$, alors…
      1. AABC est un triangle rectangle en A
      2. BABC est un triangle isocèle en A
      3. CABC est un triangle rectangle isocèle en A
      4. Dles points A, B et C sont alignés

Exercice 3 · 3 points

1. 1

   On choisit au hasard un élève issu de ce centre.
   Démontre que la probabilité que cet élève ait obtenu un emploi est 0,78.

2. 2.a

   On admet que le centre a formé suffisamment d'élèves.
   On choisit au hasard 5 élèves issus du centre et on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d'élèves ayant obtenu un emploi.
   On admet que X suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,78.
   Calcule l'espérance mathématique E(X) de X et interprète le résultat.

3. 2.b

   Calcule la probabilité qu'au moins 3 de ces élèves aient obtenu un emploi.

Exercice 4 · 3 points

1. 1

   Démontre que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=2x+3$ est une solution de (E).

2. 2

   Soit l'équation différentielle (E') : $y^{\prime }-2y=0$.
   Détermine les solutions sur $\mathbb{R}$ de (E').

3. 3.a

   Soit $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
   Démontre que $g$ est solution de (E) si et seulement si $g-h$ est une solution de (E').

4. 3.b

   Déduis des questions précédentes les solutions de (E).

5. 3.c

   Justifie que la fonction $f$ cherchée est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=-2e^{2x}+2x+3$.

6. 4.a

   Justifie que $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$.

7. 4.b

   Démontre que l'équation $x\in [0;+\infty [,f(x)=-1$, admet une solution unique $\alpha$
   telle que : $0,4<\alpha <0,5$.

Exercice 5 · 5 points

1. 1

   Démontre que : $\forall x\in ]1;+\infty [,1+x+\ln x>0$.

2. 2.a

   Calcule la limite de $h$ à droite en 1, puis interprète graphiquement le résultat.

3. 2.b

   Démontre que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ de $h$ en $+\infty$.

4. 3.a

   Démontre que : $\forall x\in ]1;+\infty [,h^{\prime }(x)=-\frac{1+x+\ln x}{(x\ln x{)}^2}$.

5. 3.b

   Justifie que : $\forall x\in ]1;+\infty [,h^{\prime }(x)<0$.

6. 4

   Démontre que $h$ est une bijection de $]1;+\infty [$ dans un intervalle K à préciser.

7. 5

   Soit $(\Gamma )$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty [$ par : $g(x)=\frac{1}{\ln x}$.
   Démontre que $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\Gamma )$ sur $]1;+\infty [$.

8. 6.a

   Justifie que : ${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}dx=\ln 2$.

9. 6.b

   Détermine l'aire $\mathcal{A}$ en cm² de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$, $(\Gamma )$ et les droites
   d'équations $x=e$ et $x=e^2$.

Exercice 6 · 5 points

1. Situation

   À l'aide d'une argumentation basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de Monsieur Zahui.