Sujet du BAC D 2023 de mathématiques, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC D 2023 en Côte d’Ivoire, en entier (6 exercices, 4 heures, coefficient 4). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé. La première question se fait en ligne, avec la correction tout de suite.

Durée : 4 heures
Coefficient 4
Noté sur 20
6 exercices

Faire la question 1 en ligne

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (2 points): Un Vrai/Faux sur les fonctions.
Exercice 2 (2 points): Un questionnaire à choix multiple.
Exercice 3 (3 points): 4 questions sur les probabilités.
Exercice 4 (3 points): 5 questions sur les nombres complexes et les transformations du plan.
Exercice 5 (5 points): 10 questions sur les suites et la fonction exponentielle.
Exercice 6 (5 points): Une question de rédaction sur les racines carrées.

Comment le travailler

6 exercices en 4 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
La question 1 se fait en ligne sur cette page : répondez d’abord, puis lisez le corrigé.
Soignez les figures : une figure juste aide à trouver la réponse et rapporte souvent des points.
Lisez tout le sujet avant de commencer et traitez d’abord l’exercice où vous êtes le plus sûr de vous.

L’énoncé complet

BAC D 2023 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC D 2023, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 4 · 6 exercices · 20 points. Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées. Chaque candidat recevra une (01) feuille de papier millimétré.

Exercice 1 · 2 points

Soit $f$ une fonction numérique définie et deux (2) fois dérivable sur un intervalle contenant un nombre réel $x_{0}$ . On désigne par (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que : $a < b$ .
On note $f^{'}$ et $f^{''}$ les dérivées première et seconde respectives de $f$ .
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de chaque proposition suivi de Vrai si la proposition est vraie ou de Faux si la proposition est fausse.

1. 1. Si $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ , alors (C) admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x_{0}$ .
2. 1. Si $f$ est négative sur l'intervalle $[a; b]$ , alors l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan limitée
    par (C), la droite (OI) et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est : $- \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
3. 3. Si $\forall x \in [a; b]$ , $∣ f^{'} (x) ∣ \leq m$ , alors $∣ f (a) - f (b) ∣ \leq m (a - b)$ , ( $m \in R$ )
4. 1. Les solutions de l'équation différentielle $f^{''} + ω^{2} f = 0$ ( $ω \in R$ ) sont les fonctions de la forme :
    $x \mapsto A e^{ω x} + B e^{- ω x}$ ( $A \in R$ , $B \in R$ ).

À vous de jouer

Faites la première question ici

1. Si $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ , alors (C) admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x_{0}$ .
2. Si $f$ est négative sur l'intervalle $[a; b]$ , alors l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan limitée
par (C), la droite (OI) et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est : $- \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
3. Si $\forall x \in [a; b]$ , $∣ f^{'} (x) ∣ \leq m$ , alors $∣ f (a) - f (b) ∣ \leq m (a - b)$ , ( $m \in R$ )
4. Les solutions de l'équation différentielle $f^{''} + ω^{2} f = 0$ ( $ω \in R$ ) sont les fonctions de la forme :
$x \mapsto A e^{ω x} + B e^{- ω x}$ ( $A \in R$ , $B \in R$ ).

Cliquez sur votre réponse : la correction s’affiche tout de suite.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des lignes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie.

1. 1. Soient $(X; Y)$ une série statistique double et $Cov (X; Y)$ sa covariance. On note respectivement $V (X)$ et $V (Y)$ les variances de $X$ et $Y$ . On admet que $V (X) \neq = 0$ et $V (Y) \neq = 0$ .
    On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double $(X; Y)$ , le nombre réel noté $r$ tel que …
  1. A $r = \frac{Cov ( X , Y )}{V ( X ) V ( Y )}$
  2. B $r = - \frac{Cov ( X , Y )}{V ( X ) V ( Y )}$
  3. C $r = - \frac{Cov ( X , Y )}{V ( X ) V ( Y )}$
  4. D $r = \frac{Cov ( X , Y )}{V ( X ) V ( Y )}$
2. 2. Une primitive sur $R$ de la fonction $x \mapsto cos x - x sin x$ est la fonction …
  1. A $x \mapsto cos x - sin x$
  2. B $x \mapsto x cos x$
  3. C $x \mapsto sin x - cos x$
  4. D $x \mapsto - x cos x$
3. 3. Si $(u_{n})_{n \in N}$ est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2, alors la somme des $n$ premiers termes consécutifs de cette suite est égale à …
  1. A $(n + 1) (n + 3)$
  2. B $n (n + 2)$
  3. C $\frac{( n + 1 ) ( n + 3 )}{2}$
  4. D $\frac{( n + 2 ) ( n + 3 )}{2}$
4. 1. L'ensemble des solutions de l'inéquation :
    $x \in R$ , $ln (1 - x) < 2$ est …
  1. A $] 1; e^{2} - 1 [$
  2. B $] - \infty; 1 - e^{2} [$
  3. C $] 1 - e^{2}; 1 [$
  4. D $] e^{2} - 1; + \infty [$

Exercice 3 · 3 points

Un sondage effectué auprès d'anciens élèves d'un lycée révèle que :
• 55% d'entre eux poursuivent uniquement leurs études dans une université ;
• 10% poursuivent uniquement leurs études dans une grande école ;
• les autres sont sur le marché du travail.
Ce sondage révèle aussi que certains de ces anciens élèves ont fait le choix de vivre en colocation. Il s'agit de :
• 45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une université ;
• 30% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une grande école ;
• 15% des anciens élèves qui sont sur le marché du travail.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée.
On considère les évènements suivants :
U : « L'ancien élève poursuit ses études dans une université » ;
G : « L'ancien élève poursuit ses études dans une grande école » ;
T : « L'ancien élève est sur le marché du travail » ;
C : « L'ancien élève vit en colocation ».

1
Construis un arbre pondéré traduisant la situation.
2
Calcule la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en colocation.
3
Justifie que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,33.
4
Un ancien élève vit en colocation.
Calcule la probabilité qu'il poursuive ses études dans une université.

Exercice 4 · 3 points

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J). On désigne par $Ω$ , A et B les points d'affixes respectives $z_{Ω}$ , $z_{A}$ et $z_{B}$ telles que : $z_{Ω} = 1 + i$ , $z_{A} = 1$ et $z_{B} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ .

1.a
On note S la similitude directe de centre $Ω$ qui transforme A en B.
Justifie que : $\frac{z _{B} - z _{Ω}}{z _{A} - z _{Ω}} = \frac{2}{2} e^{i \frac{π}{4}}$ .
1.b
Déduis de 1.a) que S a pour rapport $\frac{2}{2}$ et pour angle $\frac{π}{4}$ .
1.c
Démontre que l'écriture complexe de S est : $z^{'} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i) z + 1$ .
2.a
Justifie que l'affixe du point K, image du point J par la similitude directe S est : $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ .
2.b
Démontre que les points O, K et $Ω$ sont alignés.

Exercice 5 · 5 points

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0; + \infty [$ par : $f (x) = x e^{- x}$ .
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est : 2 cm.

1.a
Détermine la limite de $f$ en $+ \infty$ .
1.b
On admet que $f$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ .
Justifie que : $\forall x \in [0; + \infty [, f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ .
1.c
Démontre que $f$ est strictement croissante sur $] 0; 1 [$ et strictement décroissante sur $] 1; + \infty [$ .
1.d
Dresse le tableau de variation de $f$ .
1.e
Construis (C) dans le repère (O, I, J).
2
Démontre que l'équation $f (x) = \frac{1}{4}$ admet une unique solution $α$ dans $] 0; 1 [$ .
3.a
On considère la suite $(u_{n})$ définie par : ${u_{0} = α \forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} e^{- u_{n}}$ .
Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} > 0$ .
3.b
Démontre que la suite $(u_{n})$ est décroissante.
3.c
Justifie que la suite $(u_{n})$ est convergente.
3.d
Détermine la limite de la suite $(u_{n})$ .

Exercice 6 · 5 points

Une coopérative agricole possède un terrain qui a la forme d'un quart de disque de rayon 1 km représenté par la figure ci-dessous qui n'est pas en grandeurs réelles. Elle veut partager son terrain en trois parcelles pour y cultiver respectivement des tomates, des aubergines et des patates.
La parcelle hachurée est réservée à la culture des tomates. La coopérative souhaite que l'aire de cette parcelle soit maximale.

L'agent de l'agriculture chargé de la mise en valeur de ces trois parcelles informe la coopérative que l'aire de la partie réservée à la culture des tomates est égale à $\frac{x 1 - x ^{2}}{2}$ , où $x = O H$ et $x \in [0; 1]$ .
Le gérant de la coopérative ne sachant comment déterminer l'aire maximale, te sollicite.

Situation
À l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation du gérant de la coopérative.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de l’exercice 1

La réponse

1. Faux.

2. Vrai.

3. Faux.

4. Faux.

La démarche

1. Un point d'inflexion en $x_{0}$ demande que $f^{''}$ s'annule en $x_{0}$ en changeant de signe. Si $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ , la concavité ne change pas en $x_{0}$ . FAUX.
2. $f \leq 0$ sur $[a; b]$ donne $\int_{a}^{b} f (t) d t \leq 0$ . L'aire est $\int_{a}^{b} (- f (t)) d t = - \int_{a}^{b} f (t) d t$ . VRAI.
3. L'inégalité des accroissements finis donne $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq m (b - a)$ . Comme $a < b$ , $m (a - b) \leq 0$ : l'inégalité proposée est fausse en général. FAUX.
4. Les solutions de $y^{''} + ω^{2} y = 0$ sont $x \mapsto A cos (ω x) + B sin (ω x)$ . La forme exponentielle correspond à $y^{''} - ω^{2} y = 0$ . FAUX.
Barème officiel DECO : 1. Faux · 2. Vrai · 3. Faux · 4. Faux, 0,5 × 4.

Les erreurs à éviter

1. Inverser la condition : c'est $f^{''} (x_{0}) = 0$ (avec changement de signe), pas $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ .

2. Oublier le signe moins : l'intégrale d'une fonction négative est négative.

3. Lire trop vite : la formule juste est avec $(b - a)$ , qui est positif.

4. Confondre $y^{''} + ω^{2} y = 0$ et $y^{''} - ω^{2} y = 0$ .

Le corrigé des 21 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée et les points du barème officiel. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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