Sujet du BAC D 2022 de mathématiques, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC D 2022 en Côte d’Ivoire, en entier (6 exercices, 4 heures, coefficient 4). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé. La première question se fait en ligne, avec la correction tout de suite.

Durée : 4 heures
Coefficient 4
Noté sur 20
6 exercices

Faire la question 1 en ligne

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (2 points): Un questionnaire à choix multiple sur les statistiques et le calcul intégral.
Exercice 2 (2 points): Un questionnaire à choix multiple.
Exercice 3 (3 points): 4 questions sur les vecteurs et les nombres complexes.
Exercice 4 (4 points): 6 questions sur les suites et les fonctions.
Exercice 5 (4 points): 10 questions sur les fonctions et la fonction logarithme.
Exercice 6 (5 points): Une question de rédaction : Lors de la kermesse en fin d'année dans ton lycée, le comité d'organisation a initié un jeu d'adresse.

Comment le travailler

6 exercices en 4 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
La question 1 se fait en ligne sur cette page : répondez d’abord, puis lisez le corrigé.
Quand le sujet donne un résultat (« montrer que… »), servez-vous-en pour la suite, même si vous n’avez pas réussi à le démontrer.
Encadrez vos résultats et numérotez les questions comme dans le sujet : le correcteur vous suit plus facilement.

L’énoncé complet

BAC D 2022 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC D 2022, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 4 · 6 exercices · 20 points. Une feuille annexe (Exercice 4) ; une feuille de papier millimétré. Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

Exercice 1 · 2 points

On donne les groupes de mots (la droite de régression, des primitives, une bijection, fonction dérivable, extremum relatif) et les phrases incomplètes dans le tableau ci-dessous :
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de chaque phrase incomplète suivi du groupe de mots à écrire à la place des pointillés pour que la phrase soit vraie.

Pour chaque phrase, choisis le groupe de mots qui remplace les pointillés (un groupe ne sert pas).
1. 1. Toute fonction $f$ continue et strictement croissante sur un intervalle K définit ………… de K sur $f (K)$ .
2. 2. Soit (X, Y) une série statistique double ayant une forte corrélation entre X et Y et telle que $V (X) \neq = 0$ . Une équation de ………… de Y en X est $y = a x + b$ où $a = \frac{cov ( X , Y )}{V ( X )}$ et $b = Y - a X$ , $X$ et $Y$ étant les moyennes respectives de X et de Y.
3. 3. Toute fonction continue sur un intervalle I admet ………… sur I.
4. 4. Toute ………… en un point $a$ est continue en $a$ .

À vous de jouer

Faites la première question ici

1. Toute fonction $f$ continue et strictement croissante sur un intervalle K définit ………… de K sur $f (K)$ .
2. Soit (X, Y) une série statistique double ayant une forte corrélation entre X et Y et telle que $V (X) \neq = 0$ . Une équation de ………… de Y en X est $y = a x + b$ où $a = \frac{cov ( X , Y )}{V ( X )}$ et $b = Y - a X$ , $X$ et $Y$ étant les moyennes respectives de X et de Y.
3. Toute fonction continue sur un intervalle I admet ………… sur I.
4. Toute ………… en un point $a$ est continue en $a$ .

Cliquez sur votre réponse : la correction s’affiche tout de suite.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des colonnes A, B et C permettent d'obtenir trois affirmations dont une seule est vraie.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie.

Pour chaque énoncé, choisis la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie.
1. 1. Une primitive sur $R$ de la fonction $x \mapsto e^{- 2 x + 5}$ est …
  1. A $x \mapsto - 2 e^{- 2 x + 5}$
  2. B $x \mapsto \frac{1}{2} e^{- 2 x + 5}$
  3. C $x \mapsto - \frac{1}{2} e^{- 2 x + 5}$
2. 2. Les solutions de l'équation différentielle $y^{''} - 4 y = 0$ sont de la forme …
  1. A $x \mapsto k e^{2 x} + k^{'} e^{- 2 x}$ , $(k, k^{'}) \in R \times R$
  2. B $x \mapsto k cos (2 x) + k^{'} sin (2 x)$ , $(k, k^{'}) \in R \times R$
  3. C $x \mapsto k e^{4 x} + k^{'} e^{- 4 x}$ , $(k, k^{'}) \in R \times R$
3. 3. $x \to + \infty lim (x - e^{x})$ est égale à …
  1. A $- \infty$
  2. B $+ \infty$
  3. C0
4. 4. La forme exponentielle du nombre complexe $- 1 + i$ est …
  1. A $2 e^{i \frac{π}{4}}$
  2. B $2 e^{i \frac{3 π}{4}}$
  3. C $2 e^{- i \frac{3 π}{4}}$

Exercice 3 · 3 points

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; u, v)$ .
A, B, C, D et I sont les points du plan complexe d'affixes respectives : $- 2$ ; $1 + i$ ; $1 - i$ ; $3 + i$ et $1$ .

1
Justifie que le triangle ABC est isocèle en A.
2.a
Soit S la similitude directe du plan d'écriture complexe : $z^{'} = (1 + i) z + 1 - 3 i$ .
Justifie que : S(D) = D et S(B) = C.
2.b
Détermine les éléments caractéristiques de S.
2.c
Détermine l'image (C') du cercle (C) de diamètre [BD] par S.

Exercice 4 · 4 points

On donne la fonction numérique $f$ définie sur $[0; + \infty [$ par : $f (x) = \frac{5 x + 2}{4 x + 7}$ .
(C) est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
On considère la suite $(u_{n})$ définie par : ${u_{0} = 4 \forall n \in N, u_{n + 1} = f (u_{n})$

1
Sur la feuille annexe (ci-dessous), construis à l'aide de (C) et de la droite (D) d'équation $y = x$ , les quatre premiers termes $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ de la suite $(u_{n})$ sur l'axe des abscisses.
2.a
On admet que la fonction $f$ est dérivable et strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .
Démontre par récurrence que : $\forall n \in N, u_{n} > \frac{1}{2}$ .
2.b
Démontre que : $\forall n \in N, u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 ( u _{n} + 1 ) ( - 2 u _{n} + 1 )}{4 u _{n} + 7}$ .
2.c
Déduis de 2.a) et 2.b) que la suite $(u_{n})$ est décroissante.
3.a
Déduis de 2.a) et 2.c) que la suite $(u_{n})$ est convergente.
3.b
Justifie que la limite de la suite $(u_{n})$ est égale à $\frac{1}{2}$ .

Exercice 5 · 4 points

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0; + \infty [$ par : ${f (x) = x ln x - 2 x, si x > 0 f (0) = 0$ .
On note $(C_{f})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 2 cm.

1.a
Justifie que $f$ est continue en 0.
1.b
Justifie que : $x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = - \infty$ .
1.c
Interprète graphiquement le résultat de 1.b).
2
On admet que : $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = + \infty$ .
Interprète graphiquement ces résultats.
3.a
On suppose que $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ .
Justifie que : $\forall x \in] 0; + \infty [, f^{'} (x) = - 1 + ln x$ .
3.b
Étudie les variations de $f$ .
3.c
Dresse le tableau de variation de $f$ .
4
Trace la courbe $(C_{f})$ .
(Tu pourras tracer l'axe des abscisses dans le sens de la longueur du papier millimétré).
5.a
À l'aide d'une intégration par parties, justifie que l'intégrale K telle que
$K = \int_{1}^{2} x ln x d x$ est égale à $2 ln 2 - \frac{3}{4}$ .
5.b
On admet que, sur $[1; 2]$ , $(C_{f})$ est au-dessous de l'axe des abscisses (OI).
Calcule l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe $(C_{f})$ , la droite (OI) et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$ .

Exercice 6 · 5 points

Lors de la kermesse en fin d'année dans ton lycée, le comité d'organisation a initié un jeu d'adresse.
Le jeu comprend quatre épreuves.
Le joueur reçoit 4 boules après une mise de 100 F CFA.
Une épreuve consiste à lancer une boule dans un trou situé à 10 m.
Le jeu est terminé lorsque le joueur a lancé les quatre boules.
On suppose que les 4 lancers sont indépendants.
À chaque épreuve :

- si le joueur réussit à loger la boule dans le trou, le comité d'organisation lui remet 2 tickets.
- s'il ne réussit pas à loger la boule dans le trou, il ne gagne aucun ticket.

On admet que le joueur a 25% de chance de loger une boule dans le trou.
Le comité d'organisation récompense à hauteur de 2 500 F CFA le joueur qui possède à la fin du jeu au moins 4 tickets.
Un élève affirme qu'un joueur a moins de 20% de chance de gagner les 2 500 F CFA.

Situation
À l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, dis si l'affirmation de cet élève est justifiée ou non.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de l’exercice 1

La réponse

1. une bijection. 2. la droite de régression. 3. des primitives. 4. fonction dérivable. (« extremum relatif » ne sert pas.)

La démarche

1. Théorème de la bijection.
2. Droite de régression (moindres carrés) de Y en X.
3. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
4. Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ (la réciproque est fausse).

Les erreurs à éviter

4. Écrire « toute fonction continue est dérivable » : c'est la réciproque, et elle est fausse ( $∣ x ∣$ en 0).

Le corrigé des 22 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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