Sujet du BAC D 2006 de mathématiques (2e session), avec corrigé

Exercice 1 · 4,5 points

1. 1

   Représenter graphiquement le nuage de points de couples de coordonnées $(x_i,y_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal . On prendra 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

2. 2

   Déterminer les coordonnées $(\overline{x};\overline{y})$ du point moyen G.

3. 3

   Placer le point G.

4. 4

   Calculer la variance V(x) de x et la covariance Cov(x,y) de x et y.

5. 5

   Démontrer qu'une équation de la droite de régression (D) de y en fonction de x est :
   y = ax + b où a et b ont pour arrondis respectifs d'ordre 2 les nombres 11,94 et 133,50.

6. 6

   Tracer (D).

7. 7

   Selon l'ajustement ainsi réalisé, estimer la hauteur d'un cocotier dont la circonférence au collet est égale à 16 cm ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

1. 1

   Calculer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe (C) et de la droite (D)
   d'équation : y = x.

2. 2

   On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_0=1$ et $\forall n\in \mathbb{N}$, $U_{n+1}=\frac{2+U_n}{U_n}$.

   a. Utiliser la courbe (C) pour représenter $U_1$, $U_2$, $U_3$, et $U_4$ sur l'axe des abscisses (on laissera les traits de construction en pointillés sur le graphique).
   b. A partir du graphique, conjecturer la limite de la suite $(U_n)$.
   c. Démontrer par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $U_n>0$.

3. 3

   On considère la suite $(V_n)$ définie par : $V_n=\frac{-2+U_n}{1+U_n}$.

   a. Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   b. Démontrer que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $V_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$.
   c. En déduire une expression de $U_n$ en fonction de n.
   d. Calculer la limite de la suite $(U_n)$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A

   Calculer les limites de f en $+\infty$ et en 0.

2. A.2

   Calculer la limite de $\frac{f(x)}{x}$ en $+\infty$ et donner une interprétation graphique du résultat.

3. A.3

   Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel x appartenant à $]0,+\infty [$.

4. A.4

   Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

5. A.5

   Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.

6. A.6

   Démontrer que l'équation : $x\in [2,+\infty [$, $f(x)=0$ admet une solution unique α comprise entre 4,9 et 5.

7. A.7

   Démontrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $]0,+\infty [$,

   $f(x)>0⟺x\in ]1;\alpha [$
   $f(x)<0⟺x\in ]0;1[\cup ]\alpha ;+\infty [$
   $f(x)=0⟺x\in \{1;\alpha \}$.

8. A.8

   Exprimer $\ln \alpha$ en fonction de α.

9. A.9

   Tracer (T) et la courbe (C).

10. B.1

    Partie B

    A l'aide d'une intégration par parties, calculer ${\int }_1^{\alpha }\ln xdx$ en fonction de α.

11. B.2

    Calculer, en fonction de α, l'aire en cm² de la partie du plan comprise entre (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 1 et x = α.

12. C.1

    Partie C

    Soit g la restriction de f à l'intervalle $]0;2]$.

    Démontrer que g est une bijection de $]0;2]$ sur l'intervalle $]-\infty ;1-\ln 2]$.

13. C.2

    Démontrer que la bijection réciproque $g^{-1}$ de g est dérivable en 0 puis calculer $(g^{-1}{)}^{\prime }(0)$.

14. C.3

    Soit (C') la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le repère (O, I, J).
    Construire (C') en indiquant la méthode utilisée.