Sujet du BAC D 2004 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4,5 points

1. 1

   Le camionneur arrive à un barrage donné.
   (On donnera l'arrondi d'ordre 1 de chacun des résultats obtenus).
   a) Calculer la probabilité pour qu'exactement 2 des 5 sacs contrôlés contiennent le produit non déclaré.
   b) Démontrer que la probabilité pour que l'un au moins des 5 sacs contrôlés contienne le produit non déclaré est égale à 0,6.

2. 2

   Le camionneur sait que si l'un au moins des sacs du produit non déclaré est découvert à un barrage quelconque, il doit payer une taxe forfaitaire de 10 000 francs (dix mille francs) à ce barrage pour être autorisé à continuer son chemin avec tout son chargement. Si le camionneur ne peut pas payer la taxe forfaitaire, tout son chargement est saisi.
   i) On suppose que le camionneur paie la taxe chaque fois que le produit non déclaré est découvert.
   On note X la variable aléatoire égale à la somme totale que le camionneur peut ainsi dépenser sur l'ensemble de son trajet.

   a) Déterminer la loi de probabilité de X.
   b) Démontrer que l'espérance mathématique de X est égale à 18 000.

   ii) On suppose que le camionneur n'a pas d'argent pour payer une éventuelle taxe.
   Calculer la probabilité pour que son chargement soit saisi.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

1. 1

   Déterminer le module et l'argument principal de chacun des nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

2. 2

   Utiliser les résultats précédents pour placer les points A, B et C. Unité graphique : 1 cm.

3. 3

   Démontrer que le triangle OBA est équilatéral.

4. 4

   Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.

5. 5

   On désigne par K le milieu du segment [OA] et par S la similitude directe de centre O qui transforme B en K.
   a) Déterminer l'écriture complexe de S.
   b) Calculer l'affixe de l'image par S du point L milieu du segment [AC].
   c) En déduire que l'image par S de la médiatrice du segment [AC] est la droite (OI).

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A

   On donne la fonction P définie sur $\mathbb{R}$ par : $P(x)=e^{2x}-5e^x+4$.

   Résoudre l'équation : $x\in \mathbb{R}$, $P(x)=0$.

2. A.2

   Démontrer que :

   $\forall x\in ]-\infty ;0[\cup ]\ln 4;+\infty [$, $P(x)>0$ ;
   $\forall x\in ]0;\ln 4[$, $P(x)<0$.

3. B.1

   Partie B

   Soit la fonction f définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x-1+\frac{1}{e^x-2}$.
   On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J).
   (Unité : 2 cm).

   Déterminer l'ensemble de définition de f.

4. B.2

   Calculer les limites de f en $+\infty$, en $-\infty$, à gauche et à droite en ln2.

5. B.3

   On admet que f est dérivable en tout point de son ensemble de définition et on note f' sa dérivée.
   a) Vérifier que : $\forall x\in ]-\infty ;\ln 2[\cup ]\ln 2;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{P(x)}{(e^x-2{)}^2}$.
   b) Etudier le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de x.
   c) Dresser le tableau de variation de f.

6. B.4

   Démontrer que la droite (D) d'équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.

7. B.5

   Etudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D) sur l'intervalle $]\ln 2;+\infty [$.

8. B.6

   Démontrer que : $\forall x\in ]-\infty ;\ln 2[\cup ]\ln 2;+\infty [$, $f(x)=x-\frac{3}{2}+\frac{e^x}{2(e^x-2)}$.

9. B.7

   Démontrer que la droite (Δ) d'équation $y=x-\frac{3}{2}$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$.

10. B.8

    Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (Δ) sur l'intervalle $]-\infty ;\ln 2[$.

11. B.9

    Construire $(\mathcal{C})$.

12. C.1

    Partie C

    Soit λ un nombre réel strictement négatif.

    Exprimer en fonction de λ l'aire $A(\lambda )$ en cm² de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (OJ), la droite (Δ) et la droite d'équation $x=\lambda$.

13. C.2

    a) Calculer la limite $\mathcal{A}$ de $A(\lambda )$ lorsque λ tend vers $-\infty$.
    b) Hachurer sur la figure la partie du plan dont l'aire est égale à $\mathcal{A}$.