Sujet du BAC C 2022 de mathématiques, avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC C 2022 en Côte d’Ivoire, en entier (6 exercices, 4 heures, coefficient 5). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé. La première question se fait en ligne, avec la correction tout de suite.

Durée : 4 heures
Coefficient 5
Noté sur 20
6 exercices

Faire la question 1 en ligne

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (2 points): Un Vrai/Faux.
Exercice 2 (2 points): Un questionnaire à choix multiple.
Exercice 3 (3 points): 7 questions sur les vecteurs et la géométrie dans l’espace.
Exercice 4 (4 points): 7 questions sur les suites et les probabilités.
Exercice 5 (4 points): 11 questions sur la fonction logarithme et la fonction exponentielle.
Exercice 6 (5 points): 2 questions : La salle du foyer des jeunes d'une commune est dans un état de dégradation avancée.

Comment le travailler

6 exercices en 4 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
La question 1 se fait en ligne sur cette page : répondez d’abord, puis lisez le corrigé.
Quand le sujet donne un résultat (« montrer que… »), servez-vous-en pour la suite, même si vous n’avez pas réussi à le démontrer.
Encadrez vos résultats et numérotez les questions comme dans le sujet : le correcteur vous suit plus facilement.

L’énoncé complet

BAC C 2022 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC C 2022, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 5 · 6 exercices · 20 points. Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

Exercice 1 · 2 points

Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de chaque proposition du tableau ci-dessous suivi de Vrai si la proposition est vraie ou de Faux si la proposition est fausse.

1. 1. Toute isométrie du plan qui laisse invariant deux points distincts A et B est la symétrie orthogonale d'axe (AB).
2. 1. Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle K, $a$ et $b$ deux éléments de K tels que : $a < b$ .
    S'il existe un nombre réel $M$ tel que,
    $\forall x \in [a; b], ∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ , alors $- M (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ .
3. 1. Une solution sur $R$ de l'équation différentielle (E) : $y^{''} = 3 y$ est la fonction :
    $x \mapsto 2 e^{3 x} + 4 e^{- 3 x}$ .
4. 4. La dépendance linéaire entre deux caractères X et Y d'une série statistique à deux variables est forte si et seulement si le coefficient de corrélation linéaire $r$ est tel que : $∣ r ∣ \leq 0, 4$ .

À vous de jouer

Faites la première question ici

1. Toute isométrie du plan qui laisse invariant deux points distincts A et B est la symétrie orthogonale d'axe (AB).
2. Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle K, $a$ et $b$ deux éléments de K tels que : $a < b$ .
S'il existe un nombre réel $M$ tel que,
$\forall x \in [a; b], ∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ , alors $- M (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ .
3. Une solution sur $R$ de l'équation différentielle (E) : $y^{''} = 3 y$ est la fonction :
$x \mapsto 2 e^{3 x} + 4 e^{- 3 x}$ .
4. La dépendance linéaire entre deux caractères X et Y d'une série statistique à deux variables est forte si et seulement si le coefficient de corrélation linéaire $r$ est tel que : $∣ r ∣ \leq 0, 4$ .

Cliquez sur votre réponse : la correction s’affiche tout de suite.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des lignes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie.

1. 1. Si E, F et G sont trois points distincts du plan, alors pour tout point M du plan, le vecteur $2 M E - 3 M F + M G$ est égal à …
  1. A $4 M F$
  2. B $- E F + E G$
  3. C $5 M E$
  4. D $2 F E + F G$
2. 2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), la directrice de la parabole d'équation réduite $x^{2} = 8 y$ est la droite d'équation …
  1. A $y = - 1$
  2. B $y = 2$
  3. C $y = - 2$
  4. D $y = 1$
3. 3. $Arg (\frac{1 + i 3}{1 + i})^{5}$ est égal à …
  1. A $\frac{7 π}{12}$
  2. B $\frac{- 5 π}{12}$
  3. C $\frac{- 7 π}{12}$
  4. D $\frac{5 π}{12}$
4. 1. Soit OPN un triangle rectangle isocèle en O, de sens direct et I le milieu du segment [NP].
    Si une similitude directe S de centre O applique I sur P, alors l'angle et le rapport de S sont respectivement …
  1. A $\frac{π}{4}$ et $\frac{2}{2}$
  2. B $- \frac{π}{4}$ et $2$
  3. C $- \frac{π}{4}$ et $\frac{2}{2}$
  4. D $\frac{π}{4}$ et $2$

Exercice 3 · 3 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ , on donne les points A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ; −1 ; −2), E(7 ; −1 ; 4) et le vecteur $u (2; - 1; 3)$ .

1
Démontre que les points A, B et C déterminent un plan.
2.a
Démontre que le vecteur $u$ est orthogonal à chacun des vecteurs $A B$ et $A C$ .
2.b
Justifie qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2 x - y + 3 z + 1 = 0$ .
2.c
Vérifie que le point E n'appartient pas au plan (ABC).
3.a
Soit $(Δ)$ la droite passant par le point E et orthogonale au plan (ABC).
On pose : ${K} = (Δ) \cap (A B C)$ .
Détermine une représentation paramétrique de la droite $(Δ)$ .
3.b
Justifie que le point K a pour coordonnées $(3; 1; - 2)$ .
3.c
Calcule la distance EK.

Exercice 4 · 4 points

Un employé se rend à son travail en bus. S'il est à l'heure à l'arrêt, il prend le bus de ramassage gratuit mis à sa disposition par l'entreprise. S'il est en retard, il prend le bus de ville.
On suppose que l'employé n'est pas en retard le premier jour. A partir du deuxième jour :
• si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $\frac{1}{5}$ .
• s'il est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $\frac{1}{20}$ .
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 : on appelle $R_{n}$ , l'évènement : « l'employé est en retard le jour $n$ ».
On note $p_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $q_{n}$ celle de $R_{n}$ , l'évènement contraire de $R_{n}$ .
On suppose que : $p_{1} = 0$ et $p_{2} = \frac{1}{5}$ . On a : $P_{R_{n}} (R_{n + 1}) = \frac{1}{20}$ et $P_{R_{n}} (R_{n + 1}) = \frac{1}{5}$ .
Dans tout ce qui suit, on prend $n \geq 2$ .

1.a
Justifie que : $p (R_{n} \cap R_{n + 1}) = \frac{1}{20} p_{n}$ et $p (R_{n} \cap R_{n + 1}) = \frac{1}{5} q_{n}$ .
1.b
Détermine $p_{n + 1}$ en fonction de $p_{n}$ et $q_{n}$ .
1.c
Déduis-en que : $p_{n + 1} = \frac{1}{5} - \frac{3}{20} p_{n}$ .
2.a
On pose : $v_{n} = p_{n} - \frac{4}{23}$ .
Démontre que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $- \frac{3}{20}$ .
2.b
Détermine son premier terme $v_{2}$ .
3.a
Calcule la limite de la suite $(v_{n})$ .
3.b
Déduis-en la limite de la suite $(p_{n})$ .

Exercice 5 · 4 points

Soit $n$ un entier naturel non nul et $f_{n}$ la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par : $f_{n} (x) = \frac{1 + n ln ( x )}{x ^{2}}$ .
On désigne par $(C_{n})$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 3 cm.

1.a
Justifie que : $x \to 0 lim f_{n} (x) = - \infty$ ;
1.b
Justifie que : $x \to + \infty lim f_{n} (x) = 0$ .
1.c
Donne une interprétation graphique des résultats des questions 1.a) et 1.b).
2.a
On admet que $f_{n}$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ .
Justifie que $\forall x \in] 0; + \infty [, f_{n}^{'} (x) = \frac{n - 2 - 2 n ln ( x )}{x ^{3}}$ .
2.b
Détermine les variations de $f_{n}$ sur $] 0; + \infty [$ .
2.c
Vérifie que : $f_{n} (e^{\frac{n - 2}{2 n}}) = \frac{n}{2} e^{\frac{2}{n} - 1}$ .
2.d
Dresse le tableau de variation de $f_{n}$ .
3.a
Justifie que : $\forall x \in] 0; + \infty [, f_{n + 1} (x) - f_{n} (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ .
3.b
Déduis-en la position relative des courbes $(C_{n})$ et $(C_{n + 1})$ .
4.a
Soit I l'intégrale telle que : $I = \int_{1}^{e} \frac{ln ( x )}{x ^{2}} d x$ .
A l'aide d'une intégration par parties, justifie que : $I = 1 - \frac{2}{e}$ .
4.b
Déduis-en l'aire en cm² de la partie du plan limitée par les courbes $(C_{n})$ , $(C_{n + 1})$ et les droites d'équations : $x = 1$ et $x = e$ .

Exercice 6 · 5 points

La salle du foyer des jeunes d'une commune est dans un état de dégradation avancée.
Le Maire, soucieux du bien-être de sa jeunesse, décide de la réhabiliter en commençant en priorité par le revêtement du sol qui est un rectangle de longueur 14,40 m et de largeur 8,70 m.
Pour ce faire, il instruit le chef du service technique de la Mairie qui prend attache avec un fournisseur en vue d'acheter des carreaux.
Ce dernier dispose de trois types de carreaux carrés, de côtés respectifs 18 cm ; 25 cm et 30 cm. Chaque type de carreaux est livré en paquets de 12 et de 20 carreaux.
Pour éviter le gaspillage et la surfacturation, le Maire exige :
• qu'il n'y ait pas de découpe de carreaux lors du carrelage ;
• qu'on lui communique le nombre exact de paquets de 12 et de paquets de 20 qu'il faut acheter.
Le chef du service technique pense que les carreaux de côté 30 cm conviennent si l'on veut éviter des découpes de carreaux. N'étant pas qualifié pour faire ces types de calculs, il te sollicite.

1
Vérifie si le chef du service technique a raison ou pas.
2
En supposant qu'il a raison, détermine le nombre de paquets de 20 et le nombre de paquets de 12 que le chef du service technique doit commander, sachant que le nombre de paquets de 20 est supérieur à 66.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de l’exercice 1

La réponse

1. Faux.

2. Vrai.

3. Faux.

4. Faux.

La démarche

1. L'identité fixe aussi A et B : l'isométrie peut être l'identité OU la réflexion d'axe (AB). FAUX.
2. $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq M (b - a)$ , c'est-à-dire l'encadrement proposé. VRAI.
3. Pour $y = 2 e^{3 x} + 4 e^{- 3 x}$ : $y^{''} = 9 y \neq = 3 y$ . FAUX.
4. $∣ r ∣ \leq 0, 4$ traduit une faible corrélation. FAUX.

Les erreurs à éviter

1. Oublier l'application identique.

2. Confondre avec l'égalité des accroissements finis.

3. Prendre $ω = 3$ au lieu de $3$ .

4. Lire l'inégalité à l'envers.

Le corrigé des 28 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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