Sujet du BAC C 2021 de mathématiques, avec corrigé

6 exercices, 4 heures, coefficient 5 : c’est l’épreuve de mathématiques du BAC C 2021. Tout l’énoncé est sur cette page, avec le corrigé de la première question. La première question se fait en ligne, avec la correction tout de suite.

Durée : 4 heures
Coefficient 5
Noté sur 20
6 exercices

Faire la question 1 en ligne

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (2 points): Un Vrai/Faux.
Exercice 2 (2 points): Un questionnaire à choix multiple.
Exercice 3 (3 points): 7 questions sur les vecteurs et les équations.
Exercice 4 (3 points): 6 questions sur l’arithmétique et les suites.
Exercice 5 (5 points): 11 questions sur la fonction logarithme et la fonction exponentielle.
Exercice 6 (5 points): Une question de rédaction sur les fonctions.

Comment le travailler

6 exercices en 4 heures : comptez environ 30 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
La question 1 se fait en ligne sur cette page : répondez d’abord, puis lisez le corrigé.
Chaque résultat doit être justifié : le correcteur note la démarche, pas seulement le nombre final.
Vérifiez vos calculs avec la calculatrice quand elle est autorisée, mais écrivez toujours les étapes sur la copie.

L’énoncé complet

BAC C 2021 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC C 2021, Côte d’Ivoire.

Durée : 4 heures · Coefficient : 5 · 6 exercices · 20 points. Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé. Les tables trigonométriques et logarithmiques et les règles à calculs sont autorisées. Chaque candidat reçoit une feuille de papier millimétré.

Exercice 1 · 2 points

Écris, sur la feuille de copie, le numéro de chaque affirmation suivi de Vrai si l'affirmation est vraie ou de Faux si l'affirmation est fausse.

1. 1. Si $f$ est une fonction de $R$ vers $R$ telle que $f$ soit croissante et majorée sur l'intervalle $] 2; 5 [$ , alors $f$ admet pour limite $+ \infty$ à gauche en 5.
2. 2. Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique à deux variables a le même signe que la covariance de cette série statistique.
3. 3. Une primitive sur $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ de la fonction : $x \mapsto \frac{1}{cos ^{2} x} \times e^{t a n x}$ est la fonction : $x \mapsto e^{t a n x}$ .
4. 4. Toute similitude directe du plan admet un point invariant.

À vous de jouer

Faites la première question ici

1. Si $f$ est une fonction de $R$ vers $R$ telle que $f$ soit croissante et majorée sur l'intervalle $] 2; 5 [$ , alors $f$ admet pour limite $+ \infty$ à gauche en 5.
2. Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique à deux variables a le même signe que la covariance de cette série statistique.
3. Une primitive sur $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ de la fonction : $x \mapsto \frac{1}{cos ^{2} x} \times e^{t a n x}$ est la fonction : $x \mapsto e^{t a n x}$ .
4. Toute similitude directe du plan admet un point invariant.

Cliquez sur votre réponse : la correction s’affiche tout de suite.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

Pour chacun des énoncés à trou du tableau ci-dessous, quatre réponses A, B, C et D sont proposées dont une seule permet d'avoir l'énoncé juste.
Écris, sur la feuille de copie, le numéro de l'énoncé à trou suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

1. 1. Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $\forall n \in N, u_{n} = \frac{- 2}{3 ^{n}}$ .
    La suite $(u_{n})$ …
  1. ADiverge vers $- \infty$ .
  2. Bconverge vers 0.
  3. Cdiverge vers $+ \infty$ .
  4. Dconverge vers $- 2$ .
2. 1. On pose : $z = - 3 e^{i \frac{π}{6}}$ .
    L'argument principal de z est …
  1. A $- \frac{π}{6}$
  2. B $\frac{5 π}{6}$
  3. C $\frac{- 5 π}{6}$
  4. D $\frac{π}{6}$
3. 3. O est un point du plan. L'homothétie $h$ de centre O et de rapport $- 5$ …
  1. An'est pas une similitude directe
  2. Best la similitude directe de centre O, de rapport 5 et d'angle nul.
  3. Cest une isométrie.
  4. Dest la similitude directe de centre O, de rapport 5 et d'angle $π$ .
4. 4. ABC est un triangle et G l'isobarycentre des points A, B et C. L'ensemble des points M du plan vérifiant : $M A + M B + M C = A C$ est …
  1. Ala droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC).
  2. Ble cercle de centre G et de rayon $\frac{2}{3} A C$ .
  3. Cl'ensemble vide.
  4. Dle cercle de centre G et de rayon $\frac{1}{3} A C$ .

Exercice 3 · 3 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ , on considère les points :
A(0 ; 0 ; 2) ; B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1.a
Justifie que les points A, B et C déterminent un plan.
1.b
Démontre qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2 x + y + 2 z - 4 = 0$ .
2.a
Soit (D) la droite passant par A et de vecteur directeur $u (4; 2; - 5)$ .
Détermine une représentation paramétrique de la droite (D).
2.b
Justifie que la droite (D) est incluse dans le plan (ABC).
2.c
Justifie que la droite (D) est la hauteur du triangle ABC issue du point A.
3.a
Soit $(P)$ le plan dont une équation cartésienne est : $y = \frac{x}{2}$ .
Justifie que les plans $(P)$ et (ABC) sont perpendiculaires.
3.b
Démontre que : ${(D)} = (A B C) \cap (P)$ .

Exercice 4 · 3 points

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère deux nombres entiers X et Y tels que : $X = k^{2} - 2 k + 2$ et $Y = k^{2} + 2 k + 2$ .
On pose : $P GC D (X; Y) = m$ .

1
Démontre que tout diviseur de X qui divise $k$ , divise 2.
2
Démontre que tout diviseur commun de X et de Y divise $4 k$ .
3.a
Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que $k$ est impair.
Justifie que les nombres entiers X et Y sont aussi impairs.
3.b
Déduis-en que $m$ est impair.
4.a
Justifie que $m$ divise 2.
4.b
Déduis des questions précédentes que : $P GC D (X, Y) = 1$ .

Exercice 5 · 5 points

On considère la fonction g définie sur $R$ par : $g (x) = ln (e^{x} + 2 e^{- x})$ .
On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 2 cm.

1.a
Détermine $x \to + \infty lim g (x)$ .
1.b
Détermine $x \to - \infty lim g (x)$ .
2.a
On suppose que g est dérivable sur $R$ .
Justifie que la fonction $g$ est strictement croissante sur $] \frac{ln 2}{2}; + \infty [$ et strictement décroissante sur $] - \infty; \frac{ln 2}{2} [$ .
2.b
Vérifie que : $g (\frac{ln 2}{2}) = ln (22)$ .
2.c
Dresse le tableau de variation de la fonction $g$ sur $R$ .
3.a
Démontre que : $\forall x \in R, g (x) = x + ln (1 + 2 e^{- 2 x})$ .
3.b
Déduis-en que la droite (D) d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe (C) en $+ \infty$ .
3.c
Justifie que la courbe (C) est au-dessus de la droite (D).
(Le sujet écrit « au dessous » : c'est une coquille, corrigée par le barème DECO.)
4
On admet que la droite (D') d'équation $y = - x + ln 2$ est une asymptote à la courbe (C) en $- \infty$ .
Trace dans le plan muni du repère (O, I, J), la courbe (C), les droites (D) et (D').
5.a
Soit J l'intégrale telle que : $J = \int_{0}^{1} (g (x) - x) d x$ .
Donne une interprétation géométrique de J.
5.b
En utilisant l'inégalité : $\forall x \in] 0; + \infty [, ln (1 + x) \leq x$ , justifie que : $0 < J < 0, 87$ .
(On ne te demande pas de déterminer la valeur exacte de J.)

Exercice 6 · 5 points

Le Directeur d'une société internationale veut acquérir un avion privé afin d'éviter les désagréments que lui causent les vols commerciaux.
Il a le choix entre deux types d'avions : un biréacteur et un quadriréacteur. Au moment de l'achat, le constructeur lui décrit les deux types d'appareils de la façon suivante :
« Le biréacteur possède deux réacteurs R₁ et R₂ de telle sorte que l'état du réacteur R₂ dépend de celui du réacteur R₁. Cet appareil ne peut pas voler à la seule condition que les réacteurs R₁ et R₂ tombent simultanément en panne. En outre, une enquête a révélé que durant les dix premières années qui suivent leur première mise en service, 30% des réacteurs R₁ tombent en panne et que dans un même avion, lorsque le réacteur R₁ tombe en panne, le réacteur R₂ a 40% de chance de tomber aussi en panne ».
« Quant au quadriréacteur, il possède quatre réacteurs qui fonctionnent de façon indépendante. Cet appareil peut voler si au moins deux des quatre réacteurs continuent de fonctionner. En outre, 25% des réacteurs de ce type d'appareil tombent en panne durant les dix premières années qui suivent leur mise en service ».
Le Directeur veut acheter parmi les deux types d'avion, celui qui offrira le plus de chance de voler durant les dix prochaines années.
A la recherche de personnes ressources pour guider son choix, il s'adresse à toi.

Situation
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation du Directeur.

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de l’exercice 1

La réponse

1. Faux.

2. Vrai.

3. Vrai.

4. Faux.

La démarche

1. Croissante et majorée : $f$ admet une limite FINIE à gauche en 5. FAUX.
2. Les écarts-types sont positifs. VRAI.
3. $(e^{t a n x})^{'} = (1 + tan^{2} x) e^{t a n x} = \frac{1}{cos ^{2} x} e^{t a n x}$ . VRAI.
4. Une translation de vecteur non nul n'a aucun point fixe. FAUX.

Les erreurs à éviter

1. Confondre « croissante » et « tend vers l'infini ».

2. Penser au signe de $x ˉ y ˉ$ .

3. Oublier la dérivée de $tan$ .

4. Oublier les translations.

Le corrigé des 26 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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