Sujet du BAC C 2020 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. 1

   a) Place les points A, B et C dans le plan muni du repère $(O;\vec{i},\vec{j})$.
   b) Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
   c) Écris sous forme exponentielle, chacun des nombres complexes $a$, $b$ et $c$.

2. 2

   Soit $r$ la rotation de centre O telle que $r(A)=B$ et $(\Gamma )$ le cercle de centre Ω d'affixe 2 et de rayon 2.
   a) Détermine l'application complexe associée à la rotation $r$.
   b) Déduis de ce qui précède $r(B)$.
   c) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l'image $({\Gamma }^{\prime })$ de $(\Gamma )$ par $r$.
   d) Construis $(\Gamma )$ et $({\Gamma }^{\prime })$ sur la même figure.

3. 3

   Soit $\alpha$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0;2\pi [$, tel que : $\alpha \ne \pi$. On note M le point d'affixe $z$ telle que $z=2+2i{e}^{i\alpha }$ et M' l'image de M par $r$. On note $z^{\prime }$ l'affixe de M'.
   a) Démontre que M est un point de $(\Gamma )$.
   b) Démontre que : $z^{\prime }=2i-2e^{i\alpha }$.
   c) On note $u$ et $v$ les affixes respectives des vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{B{M}^{\prime }}$.
   Exprime $u$ et $v$ en fonction de $\alpha$.

4. 4

   a) Démontre que :
   $\forall x\in \mathbb{R},e^{2ix}+1=2e^{ix}\cos x$ et $e^{2ix}-1=2i{e}^{ix}\sin x$.
   b) Démontre que : $\frac{u}{v}=\tan \frac{\alpha }{2}$.
   c) Déduis de ce qui précède que les points M, M' et B sont alignés.

5. 5

   On donne : $\alpha =\frac{\pi }{3}$.
   a) Détermine sous forme algébrique l'affixe du point M.
   b) Construis les points M et $r(M)$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Soit $k$ le nombre exact de réponses justes données par un candidat à ce concours.
   Exprime en fonction de $k$ la note globale N de ce candidat.

2. 2

   Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses justes obtenues par un candidat qui a répondu au hasard à chacune des cinq questions.
   a) Détermine les valeurs prises par X.
   b) Démontre que : $P(X=3)=\frac{45}{512}$.
   c) Justifie que la probabilité pour que le candidat ait une note globale supérieure à 10 est : $\frac{53}{512}$.

3. 3

   On suppose qu'à ce concours, $n$ candidats ont répondu au hasard aux cinq questions.
   On admet que lorsqu'un des $n$ candidats répond au hasard à une question, la probabilité de donner une réponse juste est $\frac{1}{4}$.
   a) Justifie que la probabilité $P_n$ qu'au moins un des $n$ candidats ait une note globale supérieure à 10 est : $1-{\left(\frac{459}{512}\right)}^n$.
   b) Détermine la valeur minimale de $n$ pour que : $P_n\ge 0,99$.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A.1

   Partie A : Étude de la fonction $f_1$ et d'une fonction associée.
   a) Calcule : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_1(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f_1(x)}{x}$.
   b) Interprète graphiquement les résultats précédents.

2. A.2

   a) Calcule la limite de $f_1$ en $-\infty$.
   b) Interprète graphiquement le résultat précédent.

3. A.3

   On suppose que $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   a) Démontre que $f_1$ est strictement croissante sur $]-\infty ;-1[$ et strictement décroissante sur $]-1;+\infty [$.
   b) Dresse le tableau de variations de $f_1$.
   c) Trace dans le repère (O, I, J), la courbe $(C_1)$ et sa tangente à l'origine.

4. B.1

   Partie B : Etude de la fonction $f_n$.
   a) Détermine, suivant la parité de $n$, la limite de $f_n$ en $+\infty$.
   b) Détermine, suivant la parité de $n$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f_n(x)}{x}$.
   c) Interprète graphiquement les résultats précédents.

5. B.2

   a) Calcule $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_n(x)$ (On pourra poser : $X=1-x$).
   b) Interprète graphiquement le résultat précédent.

6. B.3

   On suppose que pour tout entier naturel $n$ non nul, $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   a) Démontre que : $\forall x\in \mathbb{R},f_n^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(-x-2n+1)(1-x{)}^{n-1}{e}^{\frac{x}{2}}$.
   b) Étudie, suivant la parité de $n$, le signe de $f_n^{\prime }(x)$.
   c) Dresse, suivant la parité de $n$, le tableau de variation de $f_n$.

7. B.4

   a) Résous dans $\mathbb{R}$, l'équation : $f_n(x)=f_{n+1}(x)$.
   b) Déduis de ce qui précède que toutes les courbes $(C_n)$ passent par deux points fixes que l'on précisera.
   c) Étudie, suivant la parité de $n$, les positions relatives des courbes $(C_n)$ et $(C_{n+1})$.
   d) Trace la courbe $(C_2)$ dans le repère (O, I, J).

8. C

   Partie C : Calcul de la limite de la suite $(S_n)$ définie sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ par : $S_n=\frac{1}{n!}{\int }_0^1{f}_n(x)dx$.
   1. Justifie que la fonction $f_n$ est décroissante sur $[0;1]$.
   2. Démontre que : $\forall x\in [0;1],f_n(x)\in [0;1]$.
   3. Déduis de ce qui précède que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },0\le S_n\le \frac{1}{n}$.
   4. Détermine $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.