Sujet du BAC C 2019 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Démontre que A est le milieu du segment [KG].
   b) Justifie que : $G{B}^2=\frac{45}{2}$.
   c) Justifie que : GB = GD.
   d) Détermine et construis l'ensemble $({\Gamma }_1)$ des points M du plan tels que :

   $4M{A}^2-M{B}^2-M{D}^2=9$.

2. 2

   a) Justifie que : $AE=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
   b) Démontre que pour tout point M du plan :

   $3M{A}^2-2M{B}^2-M{D}^2=-27+4\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AE}$.

   c) Détermine et construis l'ensemble $({\Gamma }_2)$ des points M du plan tels que :

   $3M{A}^2-2M{B}^2-M{D}^2=63$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. A

   Partie A
   1. Écris l'entier naturel $m$ en base 2 dans le cas où : $a=1$ ; $b=2$ et $c=1$.
   2. On suppose que : $m\equiv 0[27]$.
   i) Démontre que : $10^{3}a+10\overline{bc}\equiv 0[27]$.
   ii) Déduis-en que : $10\overline{bc}+a\equiv 0[27]$.
   iii) Justifie alors que l'entier $\overline{bca}$ est divisible par 27.

2. B

   Partie B
   Dans cette partie on suppose que : $a>c$.
   On pose : $p=\overline{cba}$ ; $u=a-c$ et $d=m-p$.
   1. Justifie que : $d=99u$.
   2. Déduis de la question précédente que l'entier naturel $d$ ne peut être le carré d'un entier naturel.
   3. On suppose que : $b=a+c$.
   i) Justifie que : $m=11(10a+c)$.
   ii) Déduis-en que $m$ et $d$ ne sont pas premiers entre eux.
   4. On suppose que : $a=b+c$.
   i) Justifie que : $d=3^2\times 11b$.
   ii) Justifie que : $m=110b+101c$.
   iii) Démontre que les entiers naturels $m$ qui sont premiers avec $d$ sont ceux qui vérifient à la fois : $b\ne 0$, $c\ne 0$, $b+c$ n'est pas divisible par 3 ; $b$ et $c$ sont premiers entre eux.
   iv) Déduis des questions précédentes, tous les entiers naturels $m$ premiers avec $d$.

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A.1-2

   Partie A
   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$.
   On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du repère (O, I, J).
   1. Démontre que $f$ est une fonction impaire.
   2. a) Calcule la limite de $f(x)$ puis celle de $\frac{f(x)}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
   b) Donne une interprétation graphique des résultats de la question précédente.

2. A.3-4

   3. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   a) Justifie que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
   b) Détermine le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.
   c) Dresse le tableau de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.
   4. Détermine une équation de la tangente $(\Delta )$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.

3. A.5-6

   5. On note $g$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par :

   $g(x)=-x+\ln (x+\sqrt{1+x^2})$.

   a) Détermine le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
   b) Détermine les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et $(\Delta )$. (On pourra calculer $g(0)$).
   6. Construis la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta )$ dans le plan muni du repère (O, I, J).

4. A.7

   On note $\mathcal{A}$ l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (OI) et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
   Calcule $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégration par parties.

5. B.1

   Partie B
   1. a) Justifie que $F_n$ est définie sur $\mathbb{R}$.
   b) Démontre que $F_n$ est une fonction impaire.
   c) Étudie le sens de variation de $F_n$ sur $[0;+\infty [$.

6. B.2

   Soit $(I_n)$ la suite numérique définie par :
   $I_0=\ln (1+\sqrt{2})$ et $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },I_n={\int }_0^1\frac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}dt$.
   a) Démontre que : $\forall n\in \mathbb{N},I_n\ge 0$.
   b) Démontre que la suite $(I_n)$ est décroissante.
   c) Démontre que la suite $(I_n)$ est convergente.
   (On ne demande pas de calculer la limite de $(I_n)$).
   d) Vérifie que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout nombre réel $t$ positif, on a :

   $t^{2n}\sqrt{1+t^2}=\frac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\frac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}$

   e) A l'aide d'une intégration par parties, justifie que :
   $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },I_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2n+2}-\frac{2n+1}{2n+2}{I}_n$.
   On remarquera que pour tout nombre réel $t$, $\frac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}=t^{2n+1}\times \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$.
   On admettra que : $I_1=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}{I}_0$.
   f) Calcule $I_1$ et $I_2$.

7. B.3

   a) Démontre que : $\forall x\in \mathbb{R},F_n(x)=I_n+{\int }_1^x\frac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}dt$.
   b) Démontre que :
   $\forall t\ge 1,\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{t}\le \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$.
   $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $\forall x\ge 1,\frac{1}{2\sqrt{2}}\times \frac{1}{n}(x^{2n}-1)\le {\int }_1^x\frac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}dt$.
   c) Déduis-en la limite de $F_n(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
   d) Démontre que, pour tout entier naturel non nul $n$, $({\mathcal{C}}_n)$ admet une branche parabolique de direction celle de la droite (OJ) en $+\infty$.
   e) Construis la courbe $({\mathcal{C}}_2)$ dans le plan muni du repère (O, I, J).