Sujet du BAC C 2014 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. I

   1- Démontrer qu'il existe un couple $(a;b)$ d'entiers relatifs tel que : $45a-16b=1$.
   2- Soit l'équation (E) : $45x-16y=2$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
   a) Justifier que le couple (10 ; 28) est une solution particulière de (E).
   b) Résoudre (E).

2. II

   Deux navires A et B accostent régulièrement et périodiquement dans un port pour décharger et charger des marchandises.
   Le navire A accoste tous les 90 jours et B accoste tous les 32 jours.
   Le navire A accoste un jour $J_0$ au port et quatre jours plus tard, B accoste au port à son tour.
   On note $J_1$ le jour de la prochaine entrée simultanée des deux navires au port.
   1- Soient $u$ et $v$ le nombre d'entrées au port effectuées respectivement par A et B entre $J_0$ et $J_1$ ($J_0$ non compris).
   Démontrer que le couple $(u;v)$ est une solution de (E).
   2- Déterminer le couple $(u;v)$.
   3- Calculer le nombre de jours qui s'écoulent entre $J_0$ et $J_1$ ($J_0$ non compris).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. I.1-2

   1- On considère la similitude directe S qui transforme A en B et C en A.
   a) Faire une figure en prenant AC = 7. (On complétera la figure au fur et à mesure.)
   b) Justifier que S n'est pas une translation.
   c) Justifier que l'angle de la similitude directe S est $-\frac{\pi }{2}$.
   d) Déterminer le rapport de S.
   2- On note Ω le centre de S.
   a) Démontrer que Ω appartient aux cercles $({\mathcal{C}}^{\prime })$ et $(\mathcal{C})$ de diamètres respectifs [AB] et [AC].
   b) Justifier que Ω est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

2. I.3

   Soit (Δ) une droite passant par A et ne passant pas par Ω.
   (D) est la perpendiculaire à (Δ) passant par C. On appelle B' et C' les projetés orthogonaux respectifs de B et C sur (Δ).
   a) Déterminer les images respectives de (D) et (Δ) par S.
   b) En déduire l'image du point C' par S.
   c) Déduire de ce qui précède que le cercle de diamètre [B'C'] passe par un point fixe lorsque la droite (Δ) varie. Préciser ce point fixe.

3. II

   1- Placer le point I de la demi-droite [AC) tel que : AB = AI.
   2- Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct $(A;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB})$.
   a) Démontrer que l'affixe du point C est $\sqrt{3}$.
   b) Soit M un point d'affixe $z$ et M' le point d'affixe $z^{\prime }$, image de M par S.
   Justifier que : $z^{\prime }=-i\frac{\sqrt{3}}{3}z+i$.
   c) Déterminer l'affixe du centre Ω de S.
   3- a) Déterminer l'ensemble (Γ) des points M d'affixe $z$ tel que $|z^{\prime }|=1$.
   b) Tracer (Γ).

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A

   Partie A
   Soit $f$ la fonction dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$ et définie sur $[0;+\infty [$ par :
   $\{\begin{array}{l}f(x)=x^2(1-2\ln x),\text{ si }x>0\\ f(0)=0\end{array}$
   On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le plan muni du repère (O, I, J).
   1- Démontrer que $f$ est continue en 0.
   2- Justifier que la courbe $(\mathcal{C})$ admet en son point d'abscisse 0, une tangente horizontale.
   3- a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
   b) Interpréter graphiquement les résultats de la question 3-a).
   4- a) Démontrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=-4x\ln x$.
   b) Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty [$, puis dresser son tableau de variation.
   c) Calculer $f(\sqrt{e})$ et justifier que :
   $\{\begin{array}{l}\forall x\in [0,\sqrt{e}],0\le f(x)\le 1\\ \forall x\in ]\sqrt{e},+\infty [,f(x)<0\end{array}$
   5- a) Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse $\sqrt{e}$.
   b) Tracer (T) et $(\mathcal{C})$.

2. B

   Partie B
   $a$ est un élément de $]0;\sqrt{e}[\cup ]\sqrt{e};+\infty [$ et $x$ est un nombre réel strictement positif.
   On pose : $S={\int }_a^{x}f(t)dt$.
   1- A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $S=\frac{x^3}{3}\left(\frac{5}{3}-2\ln x\right)-\frac{a^3}{3}\left(\frac{5}{3}-2\ln a\right)$.
   2- On note $\mathcal{A}(a)$ l'aire en cm² de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations : $y=0$, $x=a$ et $x=\sqrt{e}$.
   a) Démontrer que : $\mathcal{A}(a)=\left(4{\int }_a^{\sqrt{e}}f(t)dt\right)$ cm².
   (On distinguera les cas $a<\sqrt{e}$ et $a>\sqrt{e}$)
   b) On suppose dans cette question que $a<\sqrt{e}$.
   Calculer la limite de $\mathcal{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers 0. (On admettra que cette limite est l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x=0$, $x=\sqrt{e}$ et $y=0$.)
   c) On suppose dans cette question que $a>\sqrt{e}$.
   Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $\mathcal{A}(a)=\left(\frac{8}{9}e\sqrt{e}\right)$ cm².
   3- Déduire de ce qui précède que l'aire en cm² de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (OI) et les droites d'équations $x=0$ et $x=e^{\frac{5}{6}}$ est égale à : $\frac{16}{9}e\sqrt{e}$.

3. C

   Partie C
   $n$ est un entier naturel.
   Soit $f_n$ la fonction dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty [$ et définie par : $\{\begin{array}{l}{f}_n(x)=x^2(n-2\ln x)e^{\frac{1-n}{2}},\text{ si }x>0\\ f_n(0)=0.\end{array}$
   On note $({\mathcal{C}}_n)$ la représentation graphique de $f_n$ dans le plan muni du repère (O, I, J).
   1- Démontrer que $({\mathcal{C}}_n)$ est l'image de $({\mathcal{C}}_1)$ par l'homothétie de centre O et de rapport $e^{\frac{n-1}{2}}$.
   On remarquera que : $({\mathcal{C}}_1)=(\mathcal{C})$.
   2- a) Construire la courbe $({\mathcal{C}}_2)$ et ses tangentes aux points d'abscisses respectives 0 et $e$.
   b) Déterminer en cm², l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $({\mathcal{C}}_2)$, les droites (OI), (OJ) et la droite d'équation $x=e$.
   3- Déterminer l'aire en cm² de la partie du plan comprise entre la courbe $({\mathcal{C}}_2)$, la droite (OI) et les droites d'équations $x=0$ et $x=e^{\frac{4}{3}}$.