Sujet du BAC C 2013 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   On suppose que : $0<a<1$.
   a) Démontrer par récurrence que :
   i) pour tout $n$ élément de $\mathbb{N}$, $0\le u_n\le \frac{1}{\sqrt{1-a}}$ ;
   ii) la suite $(u_n)$ est croissante.
   b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente puis déterminer sa limite.

2. 2

   On suppose que : $a>1$.
   Soit la suite $(v_n)$ définie par :

   $v_n=(u_{n+1}{)}^2-(u_n{)}^2$ pour tout entier naturel $n$.

   a) Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
   b) En déduire que :
   $\forall n\in \mathbb{N},(u_{n+1}{)}^2-(u_n{)}^2=a^n$.
   c) On pose : $S_0=1$ et $S_n=1+a+a^2+\dots +a^{n-1}$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
   Justifier que : $S_n=\frac{1-a^n}{1-a}$.
   d) En déduire que :
   $\forall n\in \mathbb{N},u_n=\sqrt{S_n}$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1- a) Déterminer les coordonnées des trois autres sommets de (E) dans le repère $(O;{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$.
   b) Justifier que l'excentricité de (E) est égale à $\frac{4}{5}$.
   c) Donner une équation de la directrice (D) de l'ellipse (E) associée au foyer O dans le repère $(O;{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$.
   2- a) Démontrer qu'une équation de (E) dans le repère $(O;{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$ est :
   $\frac{(x-4{)}^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
   b) Construire (E).

2. 3

   On considère l'équation :
   $(E_{\alpha })$ : $z\in \mathbb{C}$, $z^2-2(4+5\cos \alpha )z+(4\cos \alpha +5{)}^2=0$ avec $\alpha \in [0;\pi ]$.
   a) Justifier que le discriminant de $(E_{\alpha })$ est : $\Delta =(6i\sin \alpha {)}^2$.
   b) Résoudre l'équation $(E_{\alpha })$.
   On notera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est strictement positive et $z_2$ l'autre solution.
   c) On note $M_1$ le point d'affixe $z_1$ et $M_2$ le point d'affixe $z_2$ dans le repère $(O;{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$.
   Démontrer que $M_1$ et $M_2$ appartiennent à (E) lorsque α décrit l'intervalle $[0;\pi ]$.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A.I

   Partie A.
   On considère la fonction dérivable sur $]0,+\infty [$ et définie par : $f(x)=\frac{\ln x}{1+x^2}$.
   On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthogonal (O, I, J).
   Unités : OI = 2 cm et OJ = 4 cm.
   I- Soit la fonction $u$ dérivable sur $]0,+\infty [$ et définie par : $u(x)=1+x^2-2x^2\ln x$.
   1- Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }u(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u(x)$.
   2- a) Etudier les variations de $u$ sur $]0;+\infty [$ puis dresser son tableau de variation.
   b) Démontrer que l'équation :
   (E) : $x\in ]0;+\infty [$, $u(x)=0$ admet une solution unique α.
   c) Démontrer que : $1,89<\alpha <1,9$.
   d) Justifier que : $\{\begin{array}{l}\text{si }x\in ]0,\alpha [\text{ alors }u(x)>0\\ \text{si }x\in [\alpha ,+\infty [\text{ alors }u(x)\le 0\end{array}$

2. A.II

   1- Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   2- a) Démontrer que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{u(x)}{x(1+x^2{)}^2}$. (Le sujet écrit « $f^{\prime }(-x)$ » : coquille.)
   b) Démontrer que $f(\alpha )=\frac{1}{2{\alpha }^2}$.
   c) Étudier les variations de $f$ sur $]0;+\infty [$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
   3- a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(\mathcal{C})$ et (OI).
   b) Déterminer suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ pour tout $x$ élément de $]0,+\infty [$.
   4- Tracer $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère (O ; I, J).

3. B.1-3

   Partie B.
   On note F la fonction dérivable sur $]0;+\infty [$ et définie par : $F(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t^2}dt$.
   1- a) Déterminer le signe de F sur $]0;+\infty [$.
   b) Calculer $F^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$ élément de $]0;+\infty [$.
   2- On note φ la bijection réciproque de la fonction tangente sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$.
   a) Démontrer que pour tout $x$ élément de $[0;+\infty [$, ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
   b) Soit $h$ la fonction définie par : $\{\begin{array}{l}\forall x\in ]0,+\infty [,h(x)=\frac{\phi (x)}{x}\\ h(0)=1\end{array}$
   Démontrer que $h$ est continue en 0.
   3- a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :
   $\forall x\in ]0;+\infty [,F(x)=\phi (x)\ln x-{\int }_1^{x}h(t)dt$.
   b) En utilisant la question 2-b) de la partie B, démontrer que : $\underset{x\to 0}{\lim }\phi (x)\ln x=0$.

4. B.4-5

   4- On admettra que F est prolongeable par continuité en 0 et que : $\forall x\in ]0;+\infty [,F(x)=F\left(\frac{1}{x}\right)$. Soit G le prolongement par continuité de F en 0. On pose G(0) = ℓ (ℓ ∈ ℝ).
   G est définie par : $\{\begin{array}{l}\forall x\in ]0,+\infty [,G(x)=F(x)\\ G(0)=\ell \end{array}$
   On désigne par (Γ) sa courbe représentative dans le repère (O ; I, J).
   a) Démontrer que : $\underset{x\to +\infty }{\lim }G(x)=\ell$.
   b) Étudier les variations de G sur $[0;+\infty [$ puis dresser son tableau de variation.
   5- On pose :

   $\forall n\in \mathbb{N},v_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}$.
   On admet que : $|\ell -v_n|<\frac{1}{(2n+3{)}^2}$.

   a) Justifier que : $v_2=\frac{209}{225}$.
   b) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $\frac{1}{(2n+3{)}^2}<25\cdot 10^{-3}$
   c) En déduire une valeur approchée de ℓ à $25\cdot 10^{-3}$ près.
   d) Donner l'allure de (Γ) dans le plan muni du repère (O, I, J).