Sujet du BAC C 2012 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   On considère l'équation (E) : $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, $9x+7y=1$.
   a) Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs solution de (E).
   Démontrer que $2x\equiv 1[7]$.
   b) Résoudre dans $\mathbb{Z}$, l'équation $2x\equiv 1[7]$.
   c) En déduire que l'ensemble des solutions de (E) est $\{(4+7k;-5-9k),k\in \mathbb{Z}\}$.

2. 2-3

   2. Résoudre l'équation (E') : $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, $9x+7y=200$.
   3. En déduire le nombre d'hommes et le nombre de femmes de cette association.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1. Justifier que (Γ) est une ellipse.
   2. On note :
   - F' et F les foyers de (Γ) ;
   - A' et A les sommets de (Γ) situés sur l'axe focal. L'abscisse de A' est négative. B' et B sont les deux autres sommets de l'ellipse.
   a) Justifier que les coordonnées respectives de F et F' dans le repère $(O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$ sont (0 ; 0) et (−2 ; 0).
   b) Déterminer les coordonnées de A', A, B' et B dans le repère $(O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$.
   c) Construire (Γ) dans le plan muni du repère $(O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$.

2. 3-4

   3. Soit M un point quelconque de (Γ).
   a) Construire le point N tel que KMN soit un triangle rectangle isocèle en N de sens indirect puis, construire le point P symétrique de K par rapport à N.
   b) Justifier que P est l'image de M par une similitude directe $s$ de centre K dont on précisera le rapport et l'angle.
   c) On admettra que l'image d'une conique par une similitude directe est une conique de même nature.
   Déterminer et construire l'ensemble $(\mathcal{C})$ des points P lorsque M décrit (Γ).
   4. a) Démontrer que l'écriture complexe de la similitude directe $s$ est $z^{\prime }=(1-i)z-i$.
   $z$ étant l'affixe d'un point M quelconque du plan et $z^{\prime }$ l'affixe du point M', image de M par $s$.
   b) On note G' et G les images respectives par $s$ des foyers F' et F de (Γ).
   Déterminer les coordonnées des points G' et G dans le repère $(O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$.
   c) Démontrer qu'une équation cartésienne de $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$ est :
   $7x^2+7y^2+2xy+14x+2y-41=0$.

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A

   Partie A
   Soit $f$ la fonction dérivable sur $]0;+\infty [$ et définie par : $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3}-\ln x$.
   On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). Unité graphique : 2cm.
   1. a) Démontrer que la droite (OJ) est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
   b) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ puis $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement ces résultats.
   2. a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$.
   b) En déduire les variations de $f$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$.
   3. Construire $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère (O, I, J).

2. B

   Partie B
   Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
   1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer ${\int }_{\frac{1}{n}}^1\ln tdt$.
   2. On pose : $A_n={\int }_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)dt$.
   a) Interpréter graphiquement $A_n$.
   b) Vérifier que $A_n=\frac{3}{4}-\frac{2}{3n}-\frac{1}{12n^4}-\frac{\ln (n)}{n}$.
   c) Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n$.
   3. a) Soit k un entier naturel tel que $1\le k\le n-1$.
   Démontrer que : $\forall t\in \left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, on a : $\frac{1}{n}f\left(\frac{k+1}{n}\right)\le {\int }_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(t)dt\le \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$
   b) En déduire que :
   $\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{2}{n}\right)+f\left(\frac{3}{n}\right)+\dots +f\left(\frac{n}{n}\right)\right]\le A_n\le \frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\dots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right]$
   4. On pose : $S_n=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\dots +f\left(\frac{n}{n}\right)\right]$
   a) Démontrer que : $A_n\le S_n\le A_n+\frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right)$.
   b) En déduire que : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{3}{4}$.

3. C

   Partie C
   1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$,
   $1^3+2^3+\cdots +n^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$.
   2. a) Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,
   $\ln \left(\frac{1}{n}\right)+\ln \left(\frac{2}{n}\right)+\cdots +\ln \left(\frac{n}{n}\right)=\ln \left(\frac{n!}{n^n}\right)$.
   b) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2,
   $S_n=\frac{1}{12n^4}[n(n+1){]}^2-\frac{1}{n}\ln \left(\frac{n!}{n^n}\right)-\frac{1}{3}$.
   c) En déduire que : $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\ln \left(\frac{n!}{n^n}\right)=-1$.
   3. a) Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,
   $\ln (u_n)=\frac{1}{n}\ln \left(\frac{n!}{n^n}\right)$.
   b) En déduire la limite de la suite $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.