Sujet du BAC C 2006 de mathématiques (2e session), avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   Faire une figure.

2. 2

   Démontrer que le triangle ABD est rectangle en B.

3. 3

   Démontrer que O est le milieu de [AD].

4. 4

   Calculer BD, AD et CD en fonction de a.

5. 5

   Déterminer trois nombres réels α, β et γ tels que D soit le barycentre des points pondérés (A;α), (B ;β) et (C;γ).

6. 6

   Soit (Γ) l'ensemble des points M du plan tels que : $-M{A}^2+2M{B}^2+2M{C}^2=4a^2$
   a. Démontrer que (Γ) passe par A.
   b. Déterminer et construire (Γ).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Démontrer que le couple (p, q) est solution d'une inéquation dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ à préciser.

2. 2

   Sur la base des tarifs des camions fixés par le transporteur, le comptable du GVC réalise que, pour minimiser le coût du transport, il est indispensable que tous les camions à affréter soient totalement chargés.
   a) Prouver que le couple (p, q) est alors solution de l'équation :
   (E) : $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, $64x+45y=2120$.
   b) Vérifier que (50 ; –24) est une solution de l'équation (E).
   c) Utiliser l'algorithme d'Euclide pour démontrer que 64 et 45 sont premiers entre eux.
   d) Résoudre (E).

3. 3

   Calculer les nombres respectifs de camions de chaque type qui minimisent le coût du transport de la production du GVC.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A

   On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[1;+\infty [$ par :

   $f(1)=1$ et $\forall x\in ]1;+\infty [$, $f(x)=1+x{e}^{-\frac{1}{x-1}}$.

   On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J).
   (Unité : 4 cm sur (OI) et 8 cm sur (OJ)).

   Calculer la limite de f en $+\infty$.

2. A.2

   Démontrer que f est dérivable en 1 et préciser le nombre dérivé de f en 1.
   (On pourra faire le changement de variable : $u=\frac{1}{x-1}$).

3. A.3

   On admet que f est dérivable sur $]1;+\infty [$ et on note f ' sa fonction dérivée.
   a) Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à $]1;+\infty [$ , $f^{\prime }(x)=\left[1+\frac{x}{(x-1{)}^2}\right]e^{-\frac{1}{x-1}}$.
   b) Étudier le sens de variation de f.
   c) Dresser le tableau de variation de f.
   d) Démontrer que pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, $f(x)\ge 1$.

4. A.4

   Soit φ la fonction dérivable sur $[0;+\infty [$ et définie par : $\phi (t)=1-(1+t)e^{-t}$.
   a) Calculer ${\phi }^{\prime }(t)$.
   b) Démontrer que, pour tout nombre réel positif ou nul t, on a : $0\le {\phi }^{\prime }(t)\le t$.
   c) En déduire que, pour tout nombre réel positif ou nul t, on a : $0\le \phi (t)\le \frac{t^2}{2}$.
   d) Démontrer que, pour tout nombre réel x appartenant à $]1;+\infty [$, on a :

   $x-f(x)=(x-1)\phi \left(\frac{1}{x-1}\right)$.

   e) En déduire que, pour tout nombre réel x appartenant à $]1;+\infty [$, on a :

   $0\le x-f(x)\le \frac{1}{2(x-1)}$.

   f) En déduire que la droite (D) d'équation $y=x$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$. Préciser la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).

5. A.5

   a) Démontrer que la droite (Δ) d'équation $y=\frac{3}{e}x-\frac{4}{e}+1$ est tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 2.
   b) Soit Ψ la fonction dérivable sur ] 1, + ∞ [ et définie par $\Psi (x)=f(x)-\left(\frac{3}{e}x-\frac{4}{e}+1\right)$.
   Calculer ${\Psi }^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel x appartenant à ] 1 ; + ∞ [.
   c) On suppose que la fonction Ψ' est dérivable sur ] 1 ; + ∞ [ .
   Démontrer que, pour tout nombre réel x appartenant à ] 1 ; + ∞ [ , ${\Psi }^{\prime \prime }(x)=\frac{2-x}{(x-1{)}^4}{e}^{-\frac{1}{x-1}}$.
   d) Étudier les variations de Ψ' puis démontrer que : ∀x ∈ ] 1 ; + ∞ [, ${\Psi }^{\prime }(x)\le 0$.
   e) En déduire que :

   ∀x ∈ ] 1 ; 2 ] , $\Psi (x)\ge 0$ ;
   ∀x ∈ [ 2 ; + ∞ [ , $\Psi (x)\le 0$.

   f) Déduire des questions précédentes la position de la droite (Δ) par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$.

6. A.6

   Construire (D), (Δ) et $(\mathcal{C})$.

7. B.1

   Partie B

   Soit F la fonction définie sur l'intervalle $[1;+\infty [$ par : $F(x)={\int }_1^{x}f(t)dt$.

   Déterminer la dérivée F' de F.

8. B.2

   En déduire le sens de variation de F.

9. B.3

   Démontrer que, pour tout nombre réel x appartenant à $[1;+\infty [$, on a : $F(x)\ge x-1$.

10. B.4

    En déduire la limite de F en $+\infty$.