Sujet du BAC C 2006 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Démontrer que tout diviseur commun à A et n divise 2.
   b) Démontrer que tout diviseur commun à A et B divise 4n.

2. 2

   On suppose que n est impair.
   a) Démontrer que A et B sont impairs.
   En déduire que d est impair.
   b) Démontrer que d divise n.
   En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.

3. 3

   On suppose que n est pair.
   a) Démontrer que 4 ne divise pas A.
   b) Démontrer que d est égal à 2p où p est un nombre entier impair.
   c) Démontrer que p divise n. En déduire que d est égal à 2.

4. 4

   Déduire de ce qui précède que 197 et 257 sont premiers entre eux.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Démontrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si D est le barycentre du système $\{(A;1);(B;-1);(C;1)\}$.

2. 2

   On suppose que ABCD est un parallélogramme.
   Déterminer puis construire l'ensemble $E_1$ des points M du plan tels que :
   $\Vert \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\Vert =BD$.

3. 3

   On suppose que ABCD est un rectangle.
   a) Démontrer que pour tout point M du plan,
   $M{A}^2-M{B}^2+M{C}^2=M{D}^2$.
   b) Déterminer puis construire l'ensemble $E_2$ des points du plan tels que :
   $M{A}^2-M{B}^2+M{C}^2=B{D}^2$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A

   Soit g la fonction dérivable et définie de ${\mathbb{R}}^{\ast }$ vers $\mathbb{R}$ par : $g(x)=\ln |x|-\frac{2}{x}$.
   a) Démontrer que pour tout nombre réel x non nul,
   $g^{\prime }(x)=\frac{x+2}{x^2}$.
   b) En déduire les variations de la fonction g puis dresser son tableau de variation. (On ne calculera pas les limites).

2. A.2

   a) Démontrer que l'équation $x\in \mathbb{R}$, $g(x)=0$ admet une unique solution α appartenant à l'intervalle $]1;+\infty [$.
   b) Démontrer que :

   $\forall x\in ]-\infty ;0[\cup ]\alpha ;+\infty [$, $g(x)>0$ ;
   $\forall x\in ]0;\alpha [$ , $g(x)<0$.

3. B.1

   Partie B

   Soit f la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{e^x}{e^x+(\ln |x|{)}^2}\text{ si }x\ne 0\\ f(0)=0\end{array}$

   (C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, I, J).
   (L'unité graphique est 4 cm).

   a) Étudier la continuité de f en 0.
   b) Déterminer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$ puis donner une interprétation graphique de chacun des résultats.

4. B.2

   a) Étudier la dérivabilité de f en 0. En déduire que (C) admet une tangente à l'origine que l'on précisera.
   b) Pour tout nombre réel x différent de zéro, démontrer que :
   $f^{\prime }(x)=\frac{\phi (x)g(x)}{(e^x+(\ln |x|{)}^2{)}^2}$ avec $\phi (x)=e^x\ln |x|$.
   c) Démontrer que $f(\alpha )=\frac{{\alpha }^2}{{\alpha }^2+4e^{-\alpha }}$ et en déduire que : $0<f(\alpha )<1$.
   d) Déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de x et en déduire le tableau de variation de f.

5. B.3

   Démontrer que :
   $\forall x\in \mathbb{R}$, $0\le f(x)\le 1$.

6. B.4

   Tracer la droite d'équation $y=x$ et la courbe (C).

7. C.1

   PARTIE C

   On considère la suite $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie au début du problème.

   Vérifier que : $\forall n\in \mathbb{N}$ $U_{n+1}=f(U_n)$.

8. C.2

   A l'aide de la courbe (C), représenter $U_0$, $U_1$, $U_2$, $U_3$ et $U_4$ sur l'axe des abscisses.

9. C.3

   Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, $u_n\in [0;1]$.

10. C.4

    a) Démontrer par récurrence que $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement croissante.
    b) Démontrer que $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente.
    c) Démontrer que la limite de $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est égale à 1.
    (On pourra utiliser les variations de f sur [0 ; 1]).